Quadrica

In matematica, e in particolare in geometria, una quadrica (o superficie quadrica) è una (iper-)superficie di uno spazio n-dimensionale sui complessi o sui reali rappresentata da un'equazione polinomiale del secondo ordine nelle variabili spaziali (coordinate). Se le coordinate spaziali sono ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ , allora la generale quadrica nello spazio $ℂ^{n}$ (o $ℝ^{n}$ ) è definita da un'equazione della forma

\sum_{i, j = 1}^{n} B_{i j} x_{i} x_{j} + \sum_{i = 1}^{n} E_{i} x_{i} + F = 0,

dove $B_{i j}$ è una matrice (non nulla), $E$ un vettore e $F$ una costante.

Un punto qualsiasi di una superficie quadrica si definisce iperbolico, parabolico o ellittico a seconda che il piano tangente alla superficie in quel punto tagli la quadrica in due rette reali e distinte, coincidenti o immaginarie coniugate. I punti di una quadrica sono tutti dello stesso tipo, cioè o tutti iperbolici o tutti parabolici o tutti ellittici. Tale caratteristica dipende solo dal segno del determinante della quadrica (invariante nei sistemi di riferimento cartesiani ortogonali) e viene spesso posta in evidenza come aggettivo della quadrica (ad esempio, iperboloide iperbolico).

Attraverso traslazioni e rotazioni ogni quadrica può essere trasformata in una forma "normalizzata", sensibilmente più semplice di quella generale. Ad esempio, l'equazione normalizzata di molte quadriche nello spazio a tre dimensioni ( $n = 3$ ) è:

\pm \frac{x^{2}}{a^{2}} \pm \frac{y^{2}}{b^{2}} \pm \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

Nello spazio euclideo tridimensionale ogni quadrica può essere scritta in una delle seguenti 9 forme normalizzate:

Quadriche non degeneri
Ellissoide	Ellissoide scaleno	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$
	Sferoide prolato	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{b^{2}} = 1$
	Sferoide oblato	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{b^{2}} = 1$
	Sfera	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{a^{2}} = 1$
Paraboloide	Paraboloide ellittico	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z}{c} = 0$
	Paraboloide circolare	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{z}{c} = 0$
	Paraboloide iperbolico	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z}{c} = 0$
Iperboloide	Iperboloide ad una falda (iperboloide iperbolico)	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$
Iperboloide	Iperboloide a due falde (iperboloide ellittico)	$- \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$
Quadriche degeneri
Cono (a due falde)		$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 0$
Cilindro	Cilindro ellittico	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
	Cilindro circolare	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$
	Cilindro parabolico	$\frac{x^{2}}{2 a} + y = 0$
	Cilindro iperbolico	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Nello spazio proiettivo reale, a meno di una trasformazione proiettiva ci sono tre classi di equivalenza di quadriche:

il cono, il cilindro e le altre quadriche "degeneri", cioè con curvatura gaussiana zero, sono tra loro equivalenti;
i due paraboloidi iperbolici e le superfici rigate sono tra loro equivalenti;
l'ellissoide, il paraboloide ellittico, l'iperboloide a due falde e le rimanenti quadriche sono tra loro equivalenti.

Nello spazio proiettivo complesso tutte le quadriche non degeneri sono tra loro equivalenti, a meno di trasformazioni proiettive.

Bibliografia

Giuseppe Vaccaro, Lezioni di geometria, vol. I, Roma, Veschi, 1975.
Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.

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Collegamenti esterni

(EN) quadric surface, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

(EN) Eric W. Weisstein, Quadric, su MathWorld, Wolfram Research.
http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node61.html, 16 Quadrics in Geometry Formulas and Facts di Silvio Levy, estratto dalla trentesima edizione di CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press).

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 25756 · LCCN (EN) sh85109415 · BNF (FR) cb11981286v (data) · J9U (EN, HE) 987007550891005171

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