Quadrigradiente

In fisica, il quadrigradiente è un operatore differenziale che generalizza il concetto di gradiente ai quadrivettori. Si tratta di un operatore vettoriale che applicato a una funzione scalare genera un quadrivettore le cui componenti sono le derivate parziali della funzione rispetto alle quattro coordinate.

Definizione

Il quadrigradiente è il quadrivettore definito come:

\partial_{α} = (\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \nabla) = \frac{\partial}{\partial x^{α}} =_{, α}

Detto $g^{α β}$ il tensore metrico, nello spaziotempo piatto esso è $(+, -, -, -)$ , e si ha:

\partial^{α} = g^{α β} \partial_{β} = (\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, - \nabla)

Il quadrato del quadrigradiente è il quadrilaplaciano, chiamato anche operatore di d'Alembert:

◻ = \partial_{α} \partial^{α} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} - \nabla^{2}

.

ed è il prodotto scalare di due quadrivettori. L'operatore di d'Alembert è un operatore scalare Lorentz invariante.

Richard Feynman, La fisica di Feynman, Bologna, Zanichelli, 2001, ISBN 978-88-08-16782-8.:
- Vol II, par. 25-3: Il gradiente quadridimensionale
(EN) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2.
(EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.

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