Spostamento verso il rosso cosmologico

Lo spostamento verso il rosso cosmologico (detto anche redshift cosmologico) è lo spostamento relativo in frequenza di un'onda elettromagnetica dovuto all'espansione dell'universo. Inizialmente lo spostamento verso il rosso veniva attribuito all'effetto Doppler, tramite la relazione

z \approx \frac{v_{r}}{c}

ma l'osservazione sperimentale di alcuni quasar caratterizzati da uno spostamento verso il rosso compreso tra 5 e 6 ha smentito tale ipotesi. L'approssimazione del redshift come effetto Doppler è valida solo se $z ≪ 1$ . Il redshift cosmologico si spiega ipotizzando che le lunghezze d'onda varino allo stesso modo delle distanze per effetto dell'espansione dell'universo. Ciò è verificato dal teorema del redshift.

Ipotesi

Supponiamo che l'universo si stia espandendo, e che tutte le distanze varino secondo un fattore di scala $a (t)$ per cui possiamo ipotizzare

D = a (t) r

dove $r$ è la coordinata comovente, ovvero un tipo di coordinata che segue punto per punto l'espansione dell'universo.

Teorema del redshift

Il teorema del redshift afferma che la lunghezza d'onda $λ$ è proporzionale al fattore di scala dell'universo.

Consideriamo la metrica di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

d s^{2} = c^{2} d t^{2} - a^{2} (t) [\frac{d r^{2}}{1 - k r^{2}} + r^{2} (d θ^{2} + \sin^{2} d ϕ^{2})]

dove $k$ è il parametro che identifica i tre diversi modelli di Friedman. Ora supponiamo di osservare un quasar posto ad una distanza comovente $r_{1}$ dalla terra (che assumiamo posta nel punto $r = 0$ ) e sotto i due angoli costanti $θ$ e $φ$ . In tali condizioni la metrica si riduce a

d s^{2} = c^{2} d t^{2} - a^{2} (t) \frac{d r^{2}}{1 - k r^{2}}

ora considerando che stiamo osservando un'onda elettromagnetica dobbiamo porre $d s^{2} = 0$ ottenendo

\frac{d t}{a (t)} = - \frac{d r}{\sqrt{1 - k r^{2}}} (1)

(si osservi che c è stata posta uguale ad 1, ed il segno meno è dovuto al fatto che, al crescere di t, r diminuisce, in quanto l'onda elettromagnetica si avvicina alla terra con il passare del tempo).

Ci conviene ora considerare due creste consecutive dell'onda elettromagnetica: la prima emessa ad un tempo $t_{1}$ e ricevuta ad un tempo $t_{0}$ , e la seconda emessa ad un tempo $t_{1} + δ t_{1}$ e ricevuta ad un tempo $t_{0} + δ t_{0}$ .

Integrando la (1) per le due creste separatamente otteniamo

\int_{t_{1}}^{t_{0}} \frac{d t}{a (t)} = \int_{0}^{r_{1}} \frac{d r}{\sqrt{1 - k r^{2}}} \equiv F (r_{1})

\int_{t_{1} + δ t_{1}}^{t_{0} + δ t_{0}} \frac{d t}{a (t)} = \int_{0}^{r_{1}} \frac{d r}{\sqrt{1 - k r^{2}}} \equiv F (r_{1})

Dal momento che gli integrali al secondo membro sono uguali possiamo eguagliare gli integrali al primo membro delle due espressioni:

\int_{t_{1}}^{t_{0}} \frac{d t}{a (t)} = \int_{t_{1} + δ t_{1}}^{t_{0} + δ t_{0}} \frac{d t}{a (t)}

\int_{t_{1}}^{t_{0}} \frac{d t}{a (t)} = \int_{t_{1}}^{t_{0}} \frac{d t}{a (t)} + \int_{t_{0}}^{t_{0} + δ t_{0}} \frac{d t}{a (t)} - \int_{t_{1}}^{t_{1} + δ t_{1}} \frac{d t}{a (t)}

\int_{t_{0}}^{t_{0} + δ t_{0}} \frac{d t}{a (t)} = \int_{t_{1}}^{t_{1} + δ t_{1}} \frac{d t}{a (t)}

A questo punto consideriamo il fatto che la variazione del fattore di scala è molto lenta nel tempo $(\dot{a} / a ≪ 1)$ . Possiamo considerare il fattore di scala costante sia durante l'emissione delle due creste, sia durante la ricezione, e ottenere

\frac{δ t_{1}}{a (t_{1})} = \frac{δ t_{0}}{a (t_{0})}

e quindi

\frac{δ t_{0}}{δ t_{1}} = \frac{a (t_{0})}{a (t_{1})}

moltiplicando e dividendo il primo membro per $c$ si ottiene

\frac{λ (t_{0})}{λ (t_{1})} = \frac{a (t_{0})}{a (t_{1})} \Rightarrow λ (t) = λ (t_{0}) \frac{a (t)}{a (t_{0})}

il che è esattamente quello che intendevamo dimostrare.

Il redshift cosmologico

Se consideriamo, quindi, la definizione di "spostamento verso il rosso" abbiamo:

z = \frac{λ_{o} - λ_{e}}{λ_{e}}

dunque, nel caso dello spostamento verso il rosso cosmologico si ottiene

z (t) = \frac{a (t_{0})}{a (t)} - 1

Note

↑ Markus Possel, Waves, motion and frequency: the Doppler effect, su Einstein Online, Vol. 5, Max Planck Institute for Gravitational Physics, Potsdam, Germany, 2017. URL consultato il 4 settembre 2017 (archiviato dall'url originale il 14 settembre 2017).
↑ Karachentsev, Local galaxy flows within 5 Mpc, in Astronomy and Astrophysics, vol. 398, 2003, pp. 479-491, Bibcode:2003A&A...398..479K, DOI:10.1051/0004-6361:20021566.
↑ Edward Robert Harrison, Cosmology: The Science of the Universe, seconda edizione, Cambridge University Press, 2000, pp. 306ff, ISBN 0-521-66148-X.
↑ EF Bunn & DW Hogg, The kinematic origin of the cosmological redshift, in ArXiv preprint, 2008.
↑ Steven Weinberg, Cosmology, Oxford University Press, 2008, p. 3, ISBN 978-0-19-852682-7.
↑ Cosmic Topology, vol. 254, Bibcode:1995PhR...254..135L, DOI:10.1016/0370-1573(94)00085-H, arXiv:gr-qc/9605010.
↑ Theoretical and Observational Cosmology, vol. 541, ISBN 978-0792359463.
↑ (EN) IUPAC Gold Book, "bathochromic shift (effect)", su goldbook.iupac.org.

Voci correlate

Portale Astronomia

Portale Fisica

[Possel-1] Markus Possel, Waves, motion and frequency: the Doppler effect, su Einstein Online, Vol. 5, Max Planck Institute for Gravitational Physics, Potsdam, Germany, 2017. URL consultato il 4 settembre 2017 (archiviato dall'url originale il 14 settembre 2017).

[2] Karachentsev, Local galaxy flows within 5 Mpc, in Astronomy and Astrophysics, vol. 398, 2003, pp. 479-491, Bibcode:2003A&A...398..479K, DOI:10.1051/0004-6361:20021566.

[3] Edward Robert Harrison, Cosmology: The Science of the Universe, seconda edizione, Cambridge University Press, 2000, pp. 306ff, ISBN 0-521-66148-X.

[Hogg-4] EF Bunn & DW Hogg, The kinematic origin of the cosmological redshift, in ArXiv preprint, 2008.

[Weinberg_Cosmology-5] Steven Weinberg, Cosmology, Oxford University Press, 2008, p. 3, ISBN 978-0-19-852682-7.

[LaLu95-6] Cosmic Topology, vol. 254, Bibcode:1995PhR...254..135L, DOI:10.1016/0370-1573(94)00085-H, arXiv:gr-qc/9605010.

[Ellis98-7] Theoretical and Observational Cosmology, vol. 541, ISBN 978-0792359463.

[8] (EN) IUPAC Gold Book, "bathochromic shift (effect)", su goldbook.iupac.org.