Schema simpliciale

In matematica, uno schema simpliciale è un oggetto definito usando la teoria degli insiemi, usato soprattutto per modellizzare in modo astratto e combinatorio uno spazio topologico. Lo spazio topologico che modellizza è un complesso simpliciale.

Definizione

Uno schema simpliciale è una coppia $(I, K)$ dove $I$ è un insieme i cui elementi sono detti vertici, e $K$ è una famiglia di sottoinsiemi di $I$ che soddisfa le proprietà seguenti:

$K$ contiene tutti gli insiemi formati da un solo elemento,
Se un insieme appartiene a $K$ allora tutti i suoi sottoinsiemi appartengono a $K$ .

Le due condizioni possono essere espresse anche nel modo seguente.

${i} \in K \forall i \in I,$
$s \in K, t \subset s \Rightarrow t \in K .$

Gli elementi di $K$ sono detti simplessi. La dimensione di un simplesso è la sua cardinalità meno uno.

Complesso simpliciale associato

A partire da uno schema simplicale è possibile costruire un complesso simpliciale, che è a sua volta uno spazio topologico. Il complesso simpliciale è costruito rappresentando ogni simplesso di dimensione $k$ come un simplesso geometrico della stessa dimensione, definito come l'insieme

Δ_{k} = {(x_{0}, \dots, x_{k}) \in ℝ^{k + 1} | x_{0} + \dots + x_{k} = 1, x_{i} ⩾ 0 \forall i} .

E identificando i vari simplessi secondo le prescrizioni date dalle relazioni insiemistiche degli elementi di $K$ .

Voci correlate

Complesso simpliciale

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