Score (statistica)

In termini formali, data l'osservazione $X$ con funzione di verosimiglianza $L (θ; X)$ , lo score $V$ è dato da:

V = \frac{\partial}{\partial θ} \log L (θ; X) = \frac{1}{L (θ; X)} \frac{\partial L (θ; X)}{\partial θ} .

$V$ è una funzione di $θ$ (i parametri da stimare) e $X$ (le osservazioni).

Proprietà

Sotto alcune condizioni di regolarità, il valore atteso di $V$ rispetto all'osservazione x condizionato a $θ$ , ovvero $𝔼 (V | θ)$ , è nullo.

Riscrivendo la funzione di veromiglianza come funzione di densità ( $L (θ; x) = f (x; θ)$ ), si ha infatti:

𝔼 (V | θ) = \int_{x = - \infty}^{+ \infty} (\frac{\partial}{\partial θ} \log f (x; θ)) f (x; θ) d x = \int_{x = - \infty}^{+ \infty} \frac{\frac{\partial f (x; θ)}{\partial θ}}{f (x; θ)} f (x; θ) d x

da cui, semplificando otteniamo:

𝔼 (V | θ) = \int_{x = - \infty}^{+ \infty} \frac{\partial f (x; θ)}{\partial θ} d x = \frac{\partial}{\partial θ} \int_{x = - \infty}^{+ \infty} f (x; θ) d x = \frac{\partial}{\partial θ} 1 = 0.

La varianza dello score è l'informazione di Fisher: $ℐ (θ)$ .

Poiché il valore atteso dello score è nullo, la varianza dello score è data da:

ℐ (θ) = 𝔼 {{[\frac{\partial}{\partial θ} \log L (θ; X)]}^{2} | θ} .

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