Sforzo efficace

Lo sforzo efficace (o tensione effettiva) è definito come quello sforzo, dipendente dallo stress applicato dall'esterno σ_ij e dalla pressione di poro u, che controlla il comportamento, in termini di deformazione o resistenza, di terreni e rocce (o di mezzi porosi in generale, quali cementi, polveri metalliche, tessuti biologici ecc.) per qualunque valore della pressione di poro (pressione del fluido interstiziale, detta anche pressione neutra) o, in altri termini, lo stress che applicato su un volume elementare di mezzo poroso asciutto (i.e. per u = 0) fornirebbe il medesimo comportamento a deformazione o resistenza che si osserva per u ≠ 0. Lo sforzo efficace è il concetto base sul quale è nata e si è sviluppata la moderna geotecnica. L'utilità di un'appropriata legge di tensioni effettive sta nel consentire di prevedere il comportamento di un mezzo poroso, per qualunque valore della pressione di poro, sulla base di esperimenti condotti su campioni asciutti (i.e. per u = 0) o per un valore noto di tale pressione.

Tale concetto è stato introdotto da Karl Terzaghi nel 1923, il quale ne scoprì l'importanza attraverso una serie di esperimenti in cui analizzò il comportamento di campioni di terreno sottoposti a differenti valori della pressione d'acqua. Egli si accorse che non era la pressione dell'acqua che di per se stessa influiva sulla resistenza del terreno, ed infatti la chiamò pressione neutra, ma invece era lo sforzo efficace, chiamato così per questo motivo, che governava la deformazione e/o la resistenza del terreno. Dopo la definizione data da Terzaghi sono state proposte diverse formulazioni e definizioni di sforzo efficace. Si deve tener presente che la definizione di stress efficace è puramente convenzionale e può essere estesa a qualunque proprietà del mezzo poroso, quali velocità sismiche, porosità, densità, permeabilità ecc. Cioè, esso può essere definito in generale come lo stress che, applicato su di un campione asciutto, produrrebbe il medesimo effetto, su una certa proprietà, di quello osservato per una certa combinazione di tensione totale σ_ij e pressione neutra u. Per tale motivo è fondamentale tener ben presente a quale proprietà ci si riferisce quando si parla di tensioni efficaci. In ambito geotecnico la definizione più diffusamente adottata è quella fornita dal principio degli sforzi efficaci di Terzaghi e, pertanto, se non diversamente specificato è sottinteso che ci si riferisca a essa.

Principio delle Tensioni Efficaci

Terzaghi propose la prima definizione dello sforzo efficace nel 1936.

In condizioni sature si definisce lo sforzo efficace come:

${\displaystyle \sigma '_{ij}=\sigma _{ij}-u\delta _{ij}}$

dove ${\displaystyle \sigma '_{ij}}$ denota il tensore di sforzo efficace, ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ lo sforzo totale (i.e. quello applicato dall'esterno sul campione o sul volume elementare di mezzo poroso), u denota la pressione neutra (oppure pressione di poro o interstiziale oppure pressione del fluido) e ${\displaystyle \delta _{ij}}$ è il delta di Kronecker.

Da un punto di vista fisico lo sforzo efficace può essere interpretato come lo sforzo che i granuli solidi costituenti il terreno si scambiano nei punti di contatto (sebbene tale interpretazione sia ormai superata, essa è efficace per comprendere il fenomeno). Si ipotizzi infatti che un elemento infinitesimo di terreno sia sottoposto ad un carico verticale ${\displaystyle \sigma }$, sezionando l'elemento si mettono in luce le forze interne, l'equilibrio in direzione verticale sarà:

${\displaystyle \sigma dA=\sum _{i}{\sigma _{ci}dA_{ci}}+udA_{w}}$

dove dA denota una superficie elementare ideale nel terreno su cui agiscono forze esercitate dalle particelle solide e dal fluido, dA_ci la porzione (molto piccola) di dA occupata dalle aree di contatto tra i grani solidi e dA_w è la restante porzione di dA occupata dal fluido. Analogamente, σ_ci denota lo sforzo in corrispondenza delle minute aree di contatto tra grani.

Esplicitando lo sforzo efficace e dividendo per l'area totale infinitesima:

${\displaystyle \sigma '={\frac {\sum _{i}{\sigma _{ci}dA_{ci}}}{dA}}=\sigma -u{\frac {dA_{w}}{dA}}}$

${\displaystyle \sigma '=\sigma -u{\frac {dA-dA_{ci}}{dA}}}$

${\displaystyle \sigma '=\sigma -u(1-{\frac {dA_{ci}}{dA}})}$

Ipotizzando che l'area di contatto dei granuli sia trascurabile (area puntiforme), si giunge alla relazione:

${\displaystyle \sigma '=\sigma -u}$

Ovvero, lo sforzo efficace σ' che agisce su un suolo viene calcolato tramite due parametri, la tensione totale σ e la pressione interstiziale dell'acqua u.

Questa spiegazione ha valore puramente didattico ed è utile per comprendere il fenomeno ma non può essere considerata una dimostrazione valida del principio di Terzaghi. Infatti, nel 1960 Skempton mostrò con un noto esperimento (prova edometrica) con campione formato da pallini di piombo deformabili, che la formula di Terzaghi forniva on ottimo fit con i dati sperimentali anche quando il rapporto dAci/dA non era affatto trascurabile (nelle fasi finali dell'esperimento raggiungeva valori prossimi all'unità).

Derivazione teorica del principio degli sforzi efficaci

Diverse dervazioni del principio degli sforzi efficaci sono state proposte, secondo differenti ipotesi riguardo al comportamento sforzo-deformazione o a resistenza di terreni, rocce e altri mezzi porosi. Le più attendibili sono basate sulle teorie delle misture (theory of porous media), criteri di omogeneizzazione e poroelasticità. Recentemente è stata proposta una dimostrazione semplice e rigorosa, basata sulla teoria dell’elasticità, per il caso di terreni e rocce (e altri mezzi porosi) saturi in condizioni statiche.

Un’ipotesi largamente adottata per terreni e rocce assume un comportamento elastico lineare isotropo del materiale costituente ma non dell’aggregato poroso che può mostrare comportamento elastico non lineare, anisotropo o anelastico. Nel caso delle rocce, il modello consiste di un solido elastico con pori interconnessi il cui comportamento elastico non lineare è spiegato (anche sperimentalmente, da un’ampia letteratura) dalla variazione di geometria dei pori in fase di deformazione. Il comportamento a resistenza è spiegato dalla teoria della Meccanica della frattura lineare elastica, che si basa sul concetto che l’enucleazione e propagazione di fratture sono controllate da aree in cui si concentrano gli stress, quali i fracture tips.

Nel caso dei mezzi granulari (ad es. terreni, polveri metalliche, etc.) ci troviamo di fronte a un problema di corpi elastici a contatto. La deformazione degli aggregati granulari è praticamente sempre associata al riarrangiamento spaziale dei grani costituenti, con spostamenti reciproci che possono avvenire:

• In assenza di deformazioni rilevanti dei grani, come il caso dei terreni nelle usuali applicazioni geotecniche,
• In presenza di fratturazione dei grani (terreni sotto elevate sollecitazioni),
• In presenza di deformazione duttile, anche notevole, dei grani, come ad esempio per polveri metalliche oppure per i provini formati da pallini di piombo utilizzati nel noto esperimento di Skempton.

Consideriamo un volume elementare di mezzo poroso, grande rispetto alle dimensioni dei grani e/o pori, soggetto a uno stress applicato dall’esterno σij e a una pressione del fluido p applicata sull’intero contorno, costituito dalla superficie esterna e da quella interna dei pori. Consideriamo per semplicità uno stress remoto costituito solo da tre componenti normali tali che σ1 = σ2 = σ3 = σ. In ogni caso, la dimostrazione può essere estesa a qualunque tensore di stress remoto σ_ij. Il problema elastico che consideriamo consiste nel determinare il campo di stress locale nel solido, indicato con ψ_ij(σ,p), agente su volumi infinitesimi piccoli rispetto a pori e/o grani (i.e., volume elementare del mezzo costituente, non poroso), sulla base delle condizioni al contorno assegnate, costituite da σ e p. Lo stress applicato può sempre essere scomposto come:

${\displaystyle \sigma =(\sigma -p)+p.}$

In generale, a causa del comportamento non lineare o anelastico dell’aggregato poroso, lo stress locale ψ_ij(σ,p) non può essere dato dalla somma di due contributi che indichiamo con ψ0_ij(σ - p) e ψ1_ij(p), dipendenti dai due stress (σ - p) e p, sopra indicati (cioè, non si può applicare il principio di sovrapposizione). Tuttavia, nel caso particolare in cui una delle due sollecitazioni consiste in una pressione p uniformemente applicata su tutto il contorno, la cui soluzione è nota e pari a una pressione p uniforme,

${\displaystyle \psi 1_{ij}(p)=p\cdot \delta _{ij}}$

(δ_ij è il simbolo di Kronecker), allora è possibile considerare ψ_ij(σ,p) come somma di due contributi. Quindi, in ogni punto del solido lo stress locale è data da,

${\textstyle \psi _{ij}(\sigma ,p)=\psi 0_{ij}(\sigma -p)+p\cdot \delta _{ij}}$.

Il primo contributo dipende esclusivamente dallo stress efficace di Terzaghi; il secondo consiste in una pressione p uniforme, responsabile di una piccola (spesso trascurabile) riduzione di volume, senza variazione di forma esterna e (nota bene) dei pori. Per tale motivo il comportamento a deformazione di rocce e altri mezzi porosi è spesso controllato con eccellente approssimazione dal solo contributo ψ0, il quale è funzione solo dello stress efficace (σ – p).

Poiché l’enucleazione e crescita di fratture in roccia sono controllate da stress concentrati alla microscala (in corrispondenza di bordi di frattura e/o di dislocazioni nel reticolo cristallino), che sono di diversi ordini di grandezza superiori rispetto allo stress remoto σ e alla pressione p, ossia per cui il termine δ_ij p è trascurabile rispetto a ψ0_ij, allora tali processi dipendono esclusivamente dal contributo ψ0, il quale è funzione solo dello stress efficace (σ – p). Per questo motivo tale stress efficace controlla il comportamento a resistenza delle rocce. Anche nel caso dei terreni e altri mezzi granulari (e.g., polveri metalliche), qualunque riarrangiamento spaziale dei grani è controllato da aree di concentrazione di stress (aree di contatto tra grani, bordi di fratture, bordi di dislocazioni nel reticolo cristallino), in cui il termine δ_ij p è trascurabile. Pertanto, il comportamento sforzo-deformazione e a resistenza dei mezzi granulari è controllato dallo stress efficace di Terzaghi, (σ – p).

Solo nel caso di terreni e rocce soggetti ad alte pressioni, il termine δ_ij p può fornire variazioni di volume non trascurabili e la formulazione dello stress efficace fornita dalla teoria poroelastica (formula di Biot, Skempton, Nur-Byerlee) può risultare più accurata. Quest’ultima formulazione è valida esclusivamente per il comportamento sforzo-deformazione di mezzi porosi e mai per il comportamento a resistenza.

Note

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) effective stress, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

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