Funzione sinc

In matematica la funzione sinc (o seno cardinale), indicata come $s i n c (x)$ o, più raramente, con $S a (x)$ , può essere definita in due modi.

La funzione sinc normalizzata, usata nell'elaborazione numerica dei segnali e nella teoria dell'informazione è definita come:

s i n c (x) = {\begin{matrix} \frac{\sin (π x)}{π x} & se x \neq 0 \\ 1 & se x = 0 \end{matrix}

mentre la funzione sinc non normalizzata, da molto tempo usata in parecchi ambiti è:

s i n c (x) = {\begin{matrix} \frac{\sin (x)}{x} & se x \neq 0 \\ 1 & se x = 0 \end{matrix}

In entrambi i casi il limite della funzione in $0$ è uguale a $1$ , ciò è immediata conseguenza del calcolo del limite notevole e quindi risulta essere una singolarità eliminabile. La sinc è quindi una funzione analitica ovunque.

Proprietà

La funzione sinc non normalizzata assume il valore zero per multipli, non nulli, di $π$ ; quella normalizzata per valori interi, sempre diversi da zero.

I massimi e minimi locali per la funzione sinc non-normalizzata si trovano nei punti di intersezione con la funzione coseno. Quindi $\frac{\sin (ξ)}{ξ} = \cos (ξ)$ per ogni $ξ$ per cui la derivata di $\frac{\sin (ξ)}{ξ}$ è nulla.

La funzione sinc normalizzata può essere rappresentata come prodotto infinito:

\frac{\sin (π x)}{π x} = \prod_{n = 1}^{+ \infty} (1 - \frac{x^{2}}{n^{2}})

oppure utilizzando la funzione gamma

\frac{\sin (π x)}{π x} = \frac{1}{Γ (1 + x) Γ (1 - x)}

La trasformata di Fourier della funzione sinc normalizzata è uguale a $r e c t (f)$

\int_{- \infty}^{+ \infty} s i n c (t) e^{- 2 π i f t} d t = r e c t (f)

dove la funzione rettangolo assume il valore unitario per argomenti tra $- \frac{1}{2}$ e $\frac{1}{2}$ . Questo integrale di Fourier include il caso speciale

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{\sin (π x)}{π x} d x = r e c t (0) = 1

che è un integrale improprio. Poiché

\int_{- \infty}^{+ \infty} | \frac{\sin (π x)}{π x} | d x = + \infty

non si tratta di un integrale di Lebesgue.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Sinc Function, su MathWorld, Wolfram Research.

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