Smoothstep

Smoothstep è una famiglia di funzioni sigmoidee usate per l'interpolazione hermitiana e per il clamping in computer grafica, motori grafici, e apprendimento automatico.

Le smoothstep sono funzioni di una variabile reale a valori in $[0, 1]$ , caratterizzate da due parametri $a$ e $b$ rappresentanti gli estremi di un intervallo $[a, b]$ di valori nel dominio. Per ogni $x \in ℝ$ , smoothstep mappa i valori $x \in (a, b)$ all'intervallo $(0, 1)$ , mentre tutti i valori $x \leq a$ sono mappati in zero, e tutti i valori $x \geq b$ sono mappati in 1. Una funzione smoothstep normalizzata ha parametri $a = 0$ e $b = 1$ . Nel seguito, quando non differentemente specificato, si assume che la funzione smoothstep sia normalizzata.

La funzione smoothstep di ordine $n$ interpola i valori tra 0 e 1 in modo tale che:

quando la variabile è all'estremo sinistro dell'intervallo, l'immagine della funzione sia 0;
quando la variabile è all'estremo destro dell'intervallo, l'immagine della funzione sia 1;
le derivate (fino all'ordine $n$ ) della funzione presso gli estremi destro e sinistro abbiano valore zero.

Una funzione polinomiale che soddisfi tali vincoli può essere definita tramite l'interpolazione di Hermite. La funzione smoothstep per antonomasia è quella di primo ordine $S_{1} (x)$ , definita da un polinomio di terzo grado:

smoothstep (x) = S_{1} (x) = {\begin{matrix} 0, & x < 0, \\ 3 x^{2} - 2 x^{3}, & 0 \leq x \leq 1, \\ 1, & x > 1. \end{matrix}

Restringendo il dominio in $[0, 1]$ , la sua inversa può essere espressa analiticamente come:

S_{1}^{- 1} (x) = \frac{1}{2} - \sin (\frac{\sin^{- 1} (1 - 2 x)}{3}) .

La funzione smoothstep di ordine $n$ è rappresentata nella porzione centrale da un polinomio di Hermite di grado $2 n + 1$ e ha forma:

S_{n} (x) = {\begin{matrix} 0, & x < 0, \\ x^{n + 1}, \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n + k}{k}) (\binom{2 n + 1}{n - k}) (- x)^{k} & 0 \leq x \leq 1, \\ 1, & x > 1. \end{matrix}

La funzione smoothstep di ordine zero $S_{0} (x)$ è equivalente alla funzione identità troncata (nota in alcuni contesti, ad esempio in computer grafica, come funzione clamp):

S_{0} (x) = {\begin{matrix} 0, & x < 0, \\ x, & 0 \leq x \leq 1, \\ 1, & x > 1. \end{matrix}

La funzione smoothstep di secondo ordine $S_{2} (x)$ , anche nota come smootherstep e popolarizzata in computer grafica da Ken Perlin, ha forma:

smootherstep (x) = S_{2} (x) = {\begin{matrix} 0, & x < 0, \\ 6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3}, & 0 \leq x \leq 1, \\ 1, & x > 1. \end{matrix}

Le successive funzioni smoothstep fino al sesto ordine sono rappresentate nell'intervallo $[0, 1]$ dai seguenti polinomi:

\begin{matrix} S_{3} (x) & = - 20 x^{7} + 70 x^{6} - 84 x^{5} + 35 x^{4}; \\ S_{4} (x) & = 70 x^{9} - 315 x^{8} + 540 x^{7} - 420 x^{6} + 126 x^{5}; \\ S_{5} (x) & = - 252 x^{11} + 1386 x^{10} - 3080 x^{9} + 3465 x^{8} - 1980 x^{7} + 462 x^{6}; \\ S_{6} (x) & = 924 x^{13} - 6006 x^{12} + 16380 x^{11} - 24024 x^{10} + 20020 x^{9} - 9009 x^{8} + 1716 x^{7} . \end{matrix}

Note

↑ Smoothstep at Microsoft Developer Network.
↑ GLSL Language Specification, Version 1.40.
↑ Unity game engine SmoothStep documentation.
↑ Hussein Hazimeh, Natalia Ponomareva, Petros Mol, Zhenyu Tan e Rahul Mazumder, The Tree Ensemble Layer: Differentiability meets Conditional Computation (PDF), International Conference on Machine Learning, PMLR, 2020. URL consultato il 30 gennaio 2022 (archiviato dall'url originale il 2 gennaio 2021).
↑ tfp.math.smootherstep | Tensorflow, su tensorflow.org (archiviato dall'url originale il 2 novembre 2021).
↑ SmootherStep | Wolfram Function Repository, su resources.wolframcloud.com (archiviato dall'url originale il 18 febbraio 2021).
↑ Ken Perlin, An Image Synthesizer, ACM SIGGRAPH, vol. 24, n. 3, 1985.
↑ Ken Perlin, Improving noise, ACM transactions on graphics, vol. 21, n. 3, luglio 2002, pp. 681-682.
↑ Ken Perlin, Texturing and Modeling, Third Edition: A Procedural Approach.

Portale Informatica

Portale Matematica

[1] Smoothstep at Microsoft Developer Network.

[2] GLSL Language Specification, Version 1.40.

[3] Unity game engine SmoothStep documentation.

[4] Hussein Hazimeh, Natalia Ponomareva, Petros Mol, Zhenyu Tan e Rahul Mazumder, The Tree Ensemble Layer: Differentiability meets Conditional Computation (PDF), International Conference on Machine Learning, PMLR, 2020. URL consultato il 30 gennaio 2022 (archiviato dall'url originale il 2 gennaio 2021).

[5] tfp.math.smootherstep | Tensorflow, su tensorflow.org (archiviato dall'url originale il 2 novembre 2021).

[6] SmootherStep | Wolfram Function Repository, su resources.wolframcloud.com (archiviato dall'url originale il 18 febbraio 2021).

[7] Ken Perlin, An Image Synthesizer, ACM SIGGRAPH, vol. 24, n. 3, 1985.

[8] Ken Perlin, Improving noise, ACM transactions on graphics, vol. 21, n. 3, luglio 2002, pp. 681-682.

[9] Ken Perlin, Texturing and Modeling, Third Edition: A Procedural Approach.