Spettro di potenza

In elettronica e teoria dei segnali un segnale può essere rappresentato come un vettore nello spazio complesso a infinite dimensioni, in particolare uno spazio di Hilbert.

Una volta introdotto l'apparato matematico vettoriale dei segnali nello spazio di Hilbert possiamo definire l'energia di un segnale come:

E_{s} = ‖ 𝐬 ‖^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} s^{2} (t) d t

dove $s (t)$ è il segnale. Da notare che le energie non sono additive nello spazio di Hilbert dei segnali, infatti:

‖ 𝐬_{1} + 𝐬_{2} ‖^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} {[𝐬_{1} + 𝐬_{2}]}^{2} d t = E_{s_{1}} + E_{s_{2}} + 2 \cdot \int_{- \infty}^{\infty} 𝐬_{1} \cdot 𝐬_{2} d t

dove il termine $2 \cdot \int_{- \infty}^{\infty} 𝐬_{1} \cdot 𝐬_{2} d t$ è chiamato termine di cross energy. Se il segnale è una tensione allora l'unità di misura dell'energia è $[V^{2} \cdot s / Ω]$ , se invece è una corrente elettrica allora $[A^{2} \cdot s / Ω]$ .

Spettro di potenza

Il prodotto di due segnali, nella teoria vettoriale dei segnali è definito come un prodotto scalare nello spazio di Hilbert:

u (t) \cdot v (t) = \int_{- \infty}^{\infty} u (t) v (t) d t

Nell'ambito della teoria spettrale dei segnali tramite la trasformata di Fourier il prodotto dei due segnali si esprime come:

u (t) \cdot v (t) = \int_{- \infty}^{\infty} u (t) v (t) d t = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} u (t) d t \int_{- \infty}^{\infty} V (ω) e^{i ω t} d ω

dove $V (ω), U (ω)$ sono gli spettri dei segnali $v (t), u (t)$ rispettivamente. Cambiamo l'ordine di integrazione:

u (t) \cdot v (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} V (ω) d ω \int_{- \infty}^{\infty} u (t) e^{i ω t} d t

allora gli spettri dei segnali sono funzioni complesse di $ω$ , allora:

u (t) \cdot v (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} V (ω) U^{*} (ω) d ω

che è la formula generalizzata di Rayleigh: il prodotto scalare di due segnali è proporzionale al prodotto scalare dei loro spettri.

Nel caso di un segnale lo spettro di potenza è dato da:

| u (t) |^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} u^{2} d t = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} | U (ω) |^{2} d ω

interpretabile come la somma di infiniti contributi del segnale a diverse frequenze.

Spettro di potenza di un sistema lineare

In un sistema lineare dinamico l'energia di un segnale è data da:

E = | u_{o u t} |^{2} = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} S_{o u t} (ω) S_{o u t}^{*} (ω) d ω

Se ricordiamo che:

S_{o u t} (ω) = k (i ω) S_{i n} (ω)

dove $k (i ω)$ è la funzione di trasferimento del sistema. Per cui l'energia del segnale:

E = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} | k (i ω) |^{2} S_{i n} (ω) S_{i n}^{*} (ω) d ω

cioè l'energia del segnale è esprimibile in termini di spettri del segnale.

La quantità:

k_{p} (ω) = | k (i ω) |^{2} = \frac{W_{o u t} (ω)}{W_{i n} (ω)}

è la risposta del sistema all'energia trasferita. La grandezza $W (ω) = S (ω) S^{*} (ω)$ .

Voci correlate

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