Successione complessa

In matematica, una successione complessa è una successione composta da numeri o funzioni complesse.

Successione numerica

Una successione numerica complessa è una successione di infiniti termini complessi:

z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}, \dots

Si dice che una successione complessa ha limite $z$ se per ogni $ε > 0$ esiste $n_{0} \in ℕ$ , con $n_{0} > 0$ , tale per cui:

| z_{n} - z | < ε

quando $n > n_{0}$ . Si scrive:

lim_{n \to \infty} z_{n} = z

Geometricamente questo significa che, per valori sufficientemente grandi di n, i punti $z_{n}$ si trovano tutti all'interno di un intorno circolare di centro $z$ e raggio $ε$ .

Supposto che i termini della successione siano $z_{n} = x_{n} + i \cdot y_{n}$ e il limite sia $z = x + i \cdot y$ , allora si ha:

lim_{n \to \infty} z_{n} = z

se e solo se:

lim_{n \to \infty} x_{n} = x lim_{n \to \infty} y_{n} = y

cioè se la parte reale ed immaginaria dei termini della successione tendono singolarmente alla parte reale ed immaginaria del limite.

Infatti, quando $n > n_{1}$ e quando $n > n_{2}$ le due successioni reali soddisfano rispettivamente:

| x_{n} - x | < \frac{ε}{2} | y_{n} - y | < \frac{ε}{2}

ed è sufficiente scegliere il più grande degli indici $n_{0} = max (n_{1}, n_{2})$ affinché valgano entrambi i limiti. Allora, secondo la definizione:

| (x_{n} + i \cdot y_{n}) - (x + i \cdot y) | \leq | x_{n} - x | + | y_{n} - y | = | z_{n} - z | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

quando $n > n_{0}$ . Viceversa, se per $n > n_{0}$ si ha:

| (x_{n} + i \cdot y_{n}) - (x + i \cdot y) | < ε

allora si ha anche:

| x_{n} - x | \leq | (x_{n} + i \cdot y_{n}) - (x + i \cdot y) | < ε | y_{n} - y | \leq | (x_{n} + i \cdot y_{n}) - (x + i \cdot y) | < ε

Successioni di funzioni

Sia $f_{n} (z) : E \to ℂ$ una successione di funzioni complesse su un dominio $A$ del piano complesso. Si dice che ${f_{n}}$ converge puntualmente alla funzione $f (z)$ in $A$ se:

lim_{n \to \infty} f_{n} (z) = f (z) \forall z \in A

Si dice che converge uniformemente alla funzione $f (z)$ in $A$ se:

lim_{n \to \infty} sup_{E} ∣ f_{n} (z) - f (z) ∣ = 0

Si vede facilmente che se si verifica:

f_{n} (z) = u_{n} (x, y) + i \cdot v_{n} (x, y) f (z) = u (x, y) + i \cdot v (x, y)

allora ${f_{n}} \to f$ rispettivamente puntualmente e uniformemente se e solo se $u_{n} \to u$ e $v_{n} \to v$ rispettivamente puntualmente e uniformemente .

Criterio di Cauchy

Il criterio di Cauchy sulle successioni di funzioni complesse uniformemente convergenti afferma che ${f_{n}} \to f$ se e solo se esiste un numero $M \geq 0$ tale che:

f_{n} (z) \leq M \forall z \in A

e tale che per ogni $ε > 0$ esiste un indice $n_{ε}$ tale per cui:

sup_{E} ∣ f_{n} (z) - f_{m} (z) ∣ \leq ε \forall n, m \geq n_{ε}

Bibliografia

(EN) John B. Conway, Functions of One Complex Variable, Springer Verlag, 1986
(EN) Jerold E. Marsden, Michael J. Hoffman, Basic Complex Analysis, Freeman, 1987
(EN) Reinhold Remmert, Theory of Complex Functions, Springer Verlag, 1991

Voci correlate

Collegamenti esterni

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