Teorema del massimo modulo

In matematica, il teorema del massimo modulo è un risultato di analisi complessa.

Afferma che se una funzione $f (z)$ è analitica in un dominio (aperto e connesso) $D$ , allora $| f (z) |$ ammette un massimo in $D$ se e solo se $f (z)$ è una funzione costante.

In particolare, se $f (z)$ è una funzione analitica non costante in un dominio limitato $D$ e continua sul bordo $\partial D$ allora il valore massimo di $| f (z) |$ sulla chiusura di $D$ (che esiste per il teorema di Weierstrass) viene raggiunto su $\partial D$ .

Analogo risultato vale per il minimo ma solo se la funzione non ha zeri all'interno del dominio $D$ .

Dimostrazione

Supponiamo che $| f (z) |$ ammetta un massimo $M$ in un punto $z_{0} \in D$ . Essendo $D$ aperto, segue che esiste $δ > 0$ tale che il cerchio $R_{δ}$ di centro $z_{0}$ e raggio $δ$ sia contenuto in $D$ .

Dalla formula integrale di Cauchy segue che

f (z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \oint_{R_{δ}} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z

e quindi, dalla disuguaglianza di Darboux

M = | f (z_{0}) | \leq \frac{1}{2 π} \int_{γ} \frac{| f (z) |}{| z - z_{0} |} | d z | \leq M^{'},

dove $M^{'} = max_{z \in R_{δ}} | f (z) |$ e l'uguaglianza vale se e solo se $f (z)$ è costante (con $| f (z) | = M$ ) su $R_{δ}$ e quindi su tutto $D$ per prolungamento analitico. Il teorema segue quindi osservando che $M$ è il massimo di $| f (z) |$ e dunque si deve necessariamente avere $M = M^{'}$ .

Bibliografia

(EN) E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions (2nd Ed) (1939) Oxford University Press. (See chapter 5.)
(EN) Krantz, S. G. "The Maximum Modulus Principle" and "Boundary Maximum Modulus Theorem." §5.4.1 and 5.4.2 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 76–77, 1999.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Maximum Modulus Principle, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) E.D. Solomentsev, Maximum-modulus principle, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
The Maximum Modulus Principle by John H. Mathews, su math.fullerton.edu. URL consultato il 27 febbraio 2014 (archiviato dall'url originale il 9 dicembre 2006).

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