Teorema del massimo modulo

In matematica, il teorema del massimo modulo è un risultato di analisi complessa.

Afferma che se una funzione ${\displaystyle f(z)}$ è analitica in un dominio (aperto e connesso) ${\displaystyle D}$, allora ${\displaystyle |f(z)|}$ ammette un massimo in ${\displaystyle D}$ se e solo se ${\displaystyle f(z)}$ è una funzione costante.

In particolare, se ${\displaystyle f(z)}$ è una funzione analitica non costante in un dominio limitato ${\displaystyle D}$ e continua sul bordo ${\displaystyle \partial D}$ allora il valore massimo di ${\displaystyle |f(z)|}$ sulla chiusura di ${\displaystyle D}$ (che esiste per il teorema di Weierstrass) viene raggiunto su ${\displaystyle \partial D}$.

Analogo risultato vale per il minimo ma solo se la funzione non ha zeri all'interno del dominio ${\displaystyle D}$.

Dimostrazione

Supponiamo che ${\displaystyle |f(z)|}$ ammetta un massimo ${\displaystyle M}$ in un punto ${\displaystyle z_{0}\in D}$. Essendo ${\displaystyle D}$ aperto, segue che esiste ${\displaystyle \delta >0}$ tale che il cerchio ${\displaystyle R_{\delta }}$ di centro ${\displaystyle z_{0}}$ e raggio ${\displaystyle \delta }$ sia contenuto in ${\displaystyle D}$.

Dalla formula integrale di Cauchy segue che

${\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{R_{\delta }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\ dz}$

e quindi, dalla disuguaglianza di Darboux

${\displaystyle M=|f(z_{0})|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\gamma }{\frac {|f(z)|}{|z-z_{0}|}}\ |dz|\leq M',}$

dove ${\displaystyle M'=\max _{z\in R_{\delta }}|f(z)|}$ e l'uguaglianza vale se e solo se ${\displaystyle f(z)}$ è costante (con ${\displaystyle |f(z)|=M}$) su ${\displaystyle R_{\delta }}$ e quindi su tutto ${\displaystyle D}$ per prolungamento analitico. Il teorema segue quindi osservando che ${\displaystyle M}$ è il massimo di ${\displaystyle |f(z)|}$ e dunque si deve necessariamente avere ${\displaystyle M=M'}$.

Bibliografia

• (EN) E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions (2nd Ed) (1939) Oxford University Press. (See chapter 5.)
• (EN) Krantz, S. G. "The Maximum Modulus Principle" and "Boundary Maximum Modulus Theorem." §5.4.1 and 5.4.2 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 76–77, 1999.

Voci correlate

• Analisi complessa
• Formula integrale di Cauchy
• Teorema integrale di Cauchy
• Integrazione complessa
• Teorema di Borel-Carathéodory

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Maximum Modulus Principle, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) E.D. Solomentsev, Maximum-modulus principle, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• The Maximum Modulus Principle by John H. Mathews, su math.fullerton.edu. URL consultato il 27 febbraio 2014 (archiviato dall'url originale il 9 dicembre 2006).

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