Teorema di Hopf-Rinow

Spazio euclideo

Lo spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ con l'usuale metrica euclidea è completo. Questo perché la retta reale è uno spazio completo e il prodotto di spazi completi è completo.

Varietà compatte

Una varietà riemanniana compatta è sempre completa. Non è vero il viceversa: ad esempio lo spazio euclideo non è compatto.

Rimozione di un punto

Rimuovendo un punto ${\displaystyle p}$ da una varietà riemanniana ${\displaystyle M}$ qualsiasi si ottiene una varietà riemanniana ${\displaystyle N}$ non completa. Nessuna delle tre ipotesi elencate è infatti verificata:

• Una successione di punti in ${\displaystyle N}$ convergente a ${\displaystyle p}$ è di Cauchy in ${\displaystyle N}$ ma non converge.
• Sia ${\displaystyle D}$ una palla chiusa di raggio ${\displaystyle r}$ centrata in ${\displaystyle p}$. L'insieme ${\displaystyle D\setminus \{p\}}$ è chiuso e limitato in ${\displaystyle N}$, ma non compatto.
• Se ${\displaystyle g}$ è una geodetica in ${\displaystyle M}$ attraversante ${\displaystyle p}$, viene tagliata in due geodetiche in ${\displaystyle N}$, ciascuna delle quali non può essere estesa indefinitivamente nella direzione di ${\displaystyle p}$.