Teorema di Kato-Rellich

Enunciato

Sia ${\displaystyle A}$ un operatore (essenzialmente) autoaggiunto e sia ${\displaystyle B}$ un operatore simmetrico, A-limitato con ${\displaystyle a<1}$. Allora, ${\displaystyle A+B}$ è (essenzialmente) autoaggiunto sul dominio ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A+B)={\mathcal {D}}(A)}$.

Teorema

Sia ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ fissato e sia ${\displaystyle V=V_{p}+V_{\infty }}$ con ${\displaystyle V_{p}}$ l'operatore di moltiplicazione per la funzione ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$, dove ${\displaystyle p=2}$ se ${\displaystyle 1\leq n\leq 3}$, ${\displaystyle p>2}$ se ${\displaystyle n=4}$ e ${\displaystyle p={\frac {n}{2}}}$ se ${\displaystyle n>4}$, e ${\displaystyle V_{\infty }}$l'operatore di moltiplicazione per la funzione ${\displaystyle g\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$. Allora vale:

• ${\displaystyle -\Delta +V}$ è essenzialmente autoaggiunto sullo spazio delle funzioni test ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ e sullo spazio di schwartz ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$;
• l'unica estensione autoaggiunta ${\displaystyle {\overline {-\Delta +V}}}$ è l'operatore ${\displaystyle -{\bar {\Delta }}+V}$ sul dominio ${\displaystyle {\mathcal {D}}({\bar {\Delta }})}$;
• lo spettro ${\displaystyle \sigma ({\overline {-\Delta +V}})}$ è limitato dal basso.

Questo teorema è importante in meccanica quantistica in quanto permette di dimostrare in maniera semplice l'autoaggiunzione di molti operatori hamiltoniani quantistici in quanto essi sono della forma ${\displaystyle -\Delta +V.}$