Test F

In statistica il test F per il confronto di due varianze è un test di ipotesi basato sulla distribuzione F di Fisher-Snedecor e volto a verificare l'ipotesi che due popolazioni che seguono entrambe distribuzioni normali abbiano la stessa varianza.

Procedimento

Se le popolazioni X e Y seguono rispettivamente le distribuzioni normali $𝒩 (μ_{X}, σ_{X}^{2})$ e $𝒩 (μ_{Y}, σ_{Y}^{2})$ , allora

i campioni $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ e $Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{m}$ si suppongono indipendenti, i primi isonomi a X e i secondi isonomi a Y;

gli stimatori delle varianze osservate $S_{X}^{2}$ e $S_{Y}^{2}$ sono variabili aleatorie indipendenti;

le variabili aleatorie $\frac{n - 1}{σ_{X}^{2}} S_{X}^{2}$ e $\frac{m - 1}{σ_{Y}^{2}} S_{Y}^{2}$ seguono rispettivamente le distribuzioni chi quadro $χ^{2} (n - 1)$ e $χ^{2} (m - 1)$ ;

il rapporto $F = \frac{σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2}} \frac{S_{X}^{2}}{S_{Y}^{2}}$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor $ℱ (n - 1, m - 1)$ .

Variabile di decisione

Sotto l'ipotesi $H_{0} = (σ_{X}^{2} = σ_{Y}^{2})$ , ovvero se le due popolazioni hanno la stessa varianza, allora la variabile aleatoria

F = \frac{S_{X}^{2}}{S_{Y}^{2}}

segue la distribuzione di Fisher-Snedecor

ℱ (n - 1, m - 1)

di parametri n-1 e m-1, dove n e m sono le numerosità dei due campioni.

La scelta del numeratore non influenza il test: sotto l'ipotesi nulla la variabile aleatoria $1 / F$ segue la distribuzione $ℱ (m - 1, n - 1)$ .

Il test

Come regione di accettazione, al livello di significatività α, viene preso l'intervallo compreso tra i quantili di ordine $\frac{α}{2}$ e $1 - \frac{α}{2}$ , mentre la regione di rifiuto è quella esclusa:

𝒜 =] f_{\frac{α}{2}}, f_{1 - \frac{α}{2}} [; ℛ =] 0, f_{\frac{α}{2}} [\cup] f_{1 - \frac{α}{2}}, \infty [

Un valore appartenente all'intervallo $] 0, f_{\frac{α}{2}} [$ suggerisce che la varianza di X sia minore della varianza di Y, mentre un valore appartenente all'intervallo $] f_{1 - \frac{α}{2}}, \infty [$ suggerisce l'inverso.

Econometria

In molti casi la statistica F può essere calcolata con un processo più diretto:

F = \frac{(\frac{{SSR}_{1} - {SSR}_{2}}{p_{2} - p_{1}})}{(\frac{{SSR}_{2}}{n - p_{2}})}

dove SSR_i è la somma dei quadrati residui (dall'inglese Sum of Square Residuals) del modello i.

In econometria vale anche la seguente formula di moltiplicazioni tra matrici:

F = \frac{(R \hat{β} - r) (\hat{R V a r (\hat{β}) R^{'}})^{- 1} (R \hat{β} - r)}{q}

dove:

$R$ è la matrice dei vincoli;
$r$ è il parametro d'eguagliaza;
$(\hat{R V a r (\hat{β}) R^{'}})^{- 1}$ è l'inversa della matrice con le covarianze;
$q$ è il numero dei vincoli di $H_{0}$ .

Solitamente gli strumenti sono rilevanti se F ≥ 10

Una tavola dei valori critici del test F può essere trovata qui.

Applicazione alla comparazione di diverse statistiche $χ^{2}$

In analisi dei dati il test F viene comunemente usato per confrontare i risultati ottenuti con due diversi metodi e valutati con l'estimatore $χ^{2}$ . Se si hanno due variabili $χ_{1}^{2}$ e $χ_{2}^{2}$ che seguono la distribuzione di $χ^{2}$ a $ν_{1}$ e $ν_{2}$ gradi di libertà rispettivamente, si può costruire la variabile $f$ :

$f = \frac{χ_{1}^{2} / ν_{1}}{χ_{2}^{2} / ν_{2}}$

che sarà distribuita secondo la Distribuzione F:

$p (f; ν_{1}, ν_{2}) = \frac{Γ [(ν_{1} + ν_{2}) / 2]}{Γ [ν_{1} / 2] Γ [ν_{2} / 2]} {(\frac{ν_{1}}{ν_{2}})}^{ν_{1} / 2} \frac{f^{1 / 2 (ν_{1} - 2)}}{(1 + f ν_{1} / ν_{2})^{1 / 2 (ν_{1} + ν_{2})}}$ .

Per capire se $χ_{1}^{2}$ e $χ_{2}^{2}$ siano consistenti si usa, quindi, l'integrale della distribuzione di probabilità per $f$ :

$P_{f} (f^{0}; ν_{1}, ν_{2}) = \int_{f^{0}}^{\infty} p (f, ν_{1}, ν_{2}) d f$

dove $f^{0}$ è il particolare valore di $f$ ottenuto.

Il valore di $P_{f}$ fornisce la probabilità di trovare un valore di $f$ pari a $f^{0}$ o più alto da dati casuali se $χ_{1}^{2}$ e $χ_{2}^{2}$ sono in accordo.

Tipicamente il test F usato per i $χ^{2}$ confronta due fit applicati agli stessi dati per capire se uno è migliore dell'altro. Se il valore di $P_{f}$ è minore del livello di confidenza scelto (ad es. 5%), si ha una significativa differenza nella bontà dei due fit.

Note

↑ GraphPad Software Inc, How the F test works to compare models, su graphpad.com, GraphPad Software Inc, 2007/10/11.
↑ Bevington, P.R. Robinson, D. K. - Data reduction and error analysis for physical sciences , Mc Graw Hill

Collegamenti esterni

(EN) F-test, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

Portale Matematica

Portale Statistica

[1] GraphPad Software Inc, How the F test works to compare models, su graphpad.com, GraphPad Software Inc, 2007/10/11.

[2] Bevington, P.R. Robinson, D. K. - Data reduction and error analysis for physical sciences , Mc Graw Hill