Trinomio notevole

Nel calcolo letterale, precisamente nella scomposizione dei polinomi, il trinomio notevole (anche chiamato trinomio speciale) è un polinomio che può essere espresso nella forma:

a x^{2} + b x + c (con a, b, c \neq 0)

e per il quale esiste un metodo noto per scomporlo come prodotto di due binomi di primo grado.

Metodo di scomposizione

Si possono distinguere i due casi in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia uguale o diverso da $1$ .

Nel caso in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia uguale a $1$ , il trinomio si presenta nella forma:

x^{2} + b x + c

in questo caso può essere scomposto nel prodotto di due binomi di primo grado nella forma:

(x + u) (x + v)

,

dove $u$ e $v$ sono due termini con le seguenti due proprietà:

Eseguendo i conti infatti si ottiene:

\begin{matrix} (x + u) (x + v) & = x^{2} + v x + u x + u v \\ = x^{2} + x (v + u) + u v \\ = x^{2} + b x + c \end{matrix}

Un metodo pratico per trovare $u$ e $v$ può essere quello di trovare le due radici del polinomio. Infatti se

x^{2} + b x + c = 0

,

allora:

(x - u) (x - v) = 0 \Rightarrow {\begin{matrix} x_{1} = u \\ x_{2} = v \end{matrix}

Per trovare le radici del trinomio notevole basta quindi utilizzare la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Nel caso in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia diverso da $1$ il polinomio si scompone nel modo seguente:

a x^{2} + b x + c = a (x + u) (x + v)

,

dove $u$ e $v$ possiedono le seguenti proprietà:

Anche in questo caso la scomposizione può essere dimostrata nel modo seguente:

\begin{matrix} a (x + u) (x + v) & = a x^{2} + a v x + a u x + a u v \\ = a x^{2} + a x (v + u) + a u v \\ = a x^{2} + b x + c \end{matrix}

Come nel caso precedente, $u$ e $v$ possono essere trovati cercando le radici del polinomio utilizzando la formula per le equazioni di secondo grado.

Più in generale se consideriamo il trinomio:

a x^{h} + b x^{k} + c con h = 2 k

questo può essere scomposto utilizzando la sostituzione di variabili $x^{k} = t$ così da ottenere il trinomio:

a t^{2} + b t + c

,

che può essere scomposto utilizzando i metodi descritti sopra e successivamente riapplicando al contrario la sostituzione.

Considerando il trinomio:

a x^{2 n} + b x^{n} + c

e considerando le sopraccitate proprietà:

Il trinomio può anche essere scomposto direttamente come di seguito:

a x^{2 n} + b x^{n} + c = a (x^{n} + u) (x^{n} + v)

.

La scomposizione può essere dimostrata nel seguente modo:

\begin{matrix} a (x^{n} + u) (x^{n} + v) & = a x^{2 n} + a x^{n} u + a x^{n} v + a u v \\ = a x^{2 n} + a x^{n} (u + v) + a u v \\ = a x^{2 n} + a x^{n} \frac{b}{a} + a \frac{c}{a} \\ = a x^{2 n} + b x^{n} + c \end{matrix}

Anche in questo caso, $u$ e $v$ possono essere trovati cercando le radici del polinomio tramite la formula quadratica.

1 2 Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.p.419
↑ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Matematica.Blu-Volume 2, Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7.p.872
↑ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.p.277
↑ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.p.99

Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.
Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.

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