Vera forma

Nelle proiezioni ortogonali

Date le proiezioni ortogonali di un triangolo ${\displaystyle ABC}$ giacente su un piano genericamente inclinato la vera forma di tale triangolo può essere ottenuta, ribaltando il piano su uno dei due piani di proiezioni 1 e 2 o, anche, su un piano parallelo ad essi, cioè, val a dire sul piano orizzontale (PO) o verticale (PV). Deciso di eseguire il ribaltamento sul piano 1, la procedura consiste nelle operazioni, rispettivamente, quella di ribaltare un solo vertice ad esempio ${\displaystyle A}$ e quella di applicare l'omologia tra la prima proiezione ${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}}$ del triangolo ${\displaystyle ABC}$ e la sua vera forma ${\displaystyle A^{*}B^{*}C^{*}}$. Gli elementi sufficienti per applicare l'omologia sono:

• due punti corrispondenti, che possono essere ${\displaystyle A_{1}}$ (la proiezione di ${\displaystyle A}$ sul piano 1, orizzontale) ed ${\displaystyle A^{*}}$ (ribaltamento di ${\displaystyle A}$);
• centro dell'omologia, in questo caso, è individuato dalla retta congiungente i punti corrispondenti ${\displaystyle A_{1}A^{*}}$. tale retta ha direzione perpendicolare alla prima traccia di alpha, per tale ragione l'omologia viene detta affinità ortogonale;
• asse dell'omologia, è la retta definita come luogo geometrico dei punti uniti, cioè quello che hanno si stessi come propri corrispondenti. Per determinare gli altri punti ${\displaystyle A^{*}}$ e ${\displaystyle B^{*}}$ corrispondenti dei punti noti ${\displaystyle A_{1}}$ e ${\displaystyle B_{1}}$, si procede tenendo presente le seguenti considerazioni:
  • punti corrispondenti appartengono a rette corrispondenti e sono, anche, allineati con il centro dell'omologia;
  • rette corrispondenti passano per punti corrispondenti e si incontrano sull'asse dell'omologia.

Per esempio per determinare ${\displaystyle B^{*}}$ corrispondente di ${\displaystyle B_{1}}$:

• si prolunga il lato ${\displaystyle A_{1}B_{1}}$ fino ad incontrare l'asse dell'omologia (coincidente con ${\displaystyle t'(\alpha )}$) individuando ${\displaystyle T'a}$: prima traccia della retta a per il lato oggettiva ${\displaystyle {\overline {AB}}}$;
• si unisce ${\displaystyle T'a}$ con ${\displaystyle A^{*}}$ individuando ${\displaystyle a*}$ come retta corrispondente di ${\displaystyle a_{1}}$;
• si traccia per ${\displaystyle B^{*}}$ una retta perpendicolare all'asse dell'omologia che incontra ${\displaystyle a^{*}}$ nel punto cercato ${\displaystyle B^{*}}$ corrispondente di ${\displaystyle B_{1}}$;
• analogamente si procede a determinare ${\displaystyle A^{*}}$ corrispondente del punto ${\displaystyle A_{1}}$ per completare il triangolo ${\displaystyle A^{*}B^{*}C^{*}}$ che è congruente e simile ad al triangolo oggettiva ${\displaystyle ABC}$.

Nell'assonometria

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Nella prospettiva

Lo stesso argomento in dettaglio: Restituzione prospettica.

Grazie alla restituzione prospettica si può passare da una prospettiva alla vera forma della sua pianta grazie ad alcuni procedimenti grafici.