Versore

In matematica, un versore è un vettore in uno spazio normato di norma uguale ad 1. Un versore è utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.

Dato un qualunque vettore $𝐯$ (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per il reciproco del suo modulo:

\hat{𝐯} = \frac{𝐯}{‖ 𝐯 ‖} .

Esempi

Esempi di versori comunemente utilizzati sono:

I versori associati agli assi cartesiani nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:
1. $\hat{ı}, \hat{ȷ}, \hat{k};$
2. $𝐞_{x}, 𝐞_{y}, 𝐞_{z};$
3. $𝐞_{1}, 𝐞_{2}, 𝐞_{3};$
4. $\hat{𝐱}, \hat{𝐲}, \hat{𝐳};$
5. $𝐱_{0}, 𝐲_{0}, 𝐳_{0};$
6. $[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] .$
I versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante (e nel sesto caso sono presenti solo due componenti in ognuno dei due vettori rimanenti).
I versori associati ad un sistema di coordinate polari nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare equivalentemente con:
1. $\hat{r}, \hat{θ};$
2. $\hat{𝐫}, \hat{𝜽};$
3. $𝐞_{r}, 𝐞_{θ};$
4. $𝐫_{0}, 𝜽_{0} .$
Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore tangente e il versore normale. Si indicano spesso nei seguenti tre modi equivalenti:
1. $\hat{t}, \hat{n};$
2. $\hat{𝐭}, \hat{𝐧};$
3. $𝐞_{t}, 𝐞_{n} .$

Derivata di un versore

Sia $\hat{𝐯} (t)$ un versore dipendente dal tempo. Se consideriamo il prodotto scalare di questo vettore per se stesso abbiamo:

\hat{𝐯} \cdot \hat{𝐯} = {| \hat{𝐯} |}^{2}

e ricordando che i versori hanno modulo unitario si ha

\hat{𝐯} \cdot \hat{𝐯} = 1.

Prendendo quest'ultima espressione, e derivandola membro a membro rispetto al tempo otteniamo:

{\hat{𝐯}}^{'} \cdot \hat{𝐯} + \hat{𝐯} \cdot {\hat{𝐯}}^{'} = 0.

Data la commutatività del prodotto scalare

2 ({\hat{𝐯}}^{'} \cdot \hat{𝐯}) = 0

{\hat{𝐯}}^{'} \cdot \hat{𝐯} = 0.

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di ${\hat{𝐯}}^{'} \cdot \hat{𝐯}$ , si evince che la derivata di un versore è sempre perpendicolare al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la proiezione di un vettore sull'altro, che si annulla se e solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.