공집합

수학에서 공집합(空集合, 영어: empty set, null set)은 원소가 하나도 없는 집합이다. 기호는 { } 또는 $\emptyset$ (∅) 또는 $∅︀$ . $\emptyset$ 기호는 시행 결과로 어떠한 조건에서도 나올 수 없는 사건을 의미하는 공사건의 기호이기도 하다.

정의

공집합 $\emptyset$ 은 아무런 원소를 가지지 않는 집합이다. 이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 집합이다.

임의의 $x \in \emptyset$ 에 대하여, $x \neq x$

성질

모든 집합 $A$ 에 대하여,

공집합은 $A$ 의 부분집합이다.
$\emptyset \subset A$
집합 $A$ 와 공집합의 합집합은 집합 A이다.
$A \cup \emptyset = A$
집합 $A$ 와 공집합의 교집합은 공집합이다.
$A \cap \emptyset = \emptyset$
집합 $A$ 와 공집합의 곱집합은 공집합이다.
$A \times \emptyset = \emptyset$

공집합은 다음과 같은 성질들을 가지고 있다.

공집합의 유일한 부분집합은 공집합 자신이다.
$A \subset \emptyset ⟹ A = \emptyset$
공집합의 멱집합은 공집합만을 원소로 하는 집합이다.
$2^{\emptyset} = {\emptyset}$
공집합의 원소의 개수는 0이다. 즉, 공집합의 기수가 0이다. 공집합은 유한집합이다.
$c a r d (\emptyset) = 0$
$A$ 는 공집합과 서로소이다.

$A - \emptyset = A$

응용

공허하게 참인 명제

공허하게 참인 명제(空虛-命題, 영어: vacuously true statement)는 공집합에 대한 전칭 명제나, 거짓 명제를 전제 조건으로 하는 함의 명제를 뜻한다. 그 전형적인 꼴은 다음과 같다.

$\forall x \in \emptyset : ϕ (x)$
$ϕ ⟹ ψ$ (여기서 $ϕ$ 는 거짓 명제이다.)

공허하게 참인 명제는 뒤에 오는 결론이 모순 명제이더라도 항상 참이지만, 실속 있는 내용이 없다.

예를 들어, 다음과 같은 명제들은 공허하게 참인 명제이다.

임의의 $x \in \emptyset$ 에 대하여, $x \neq x$
만약 $3 < x < 2$ 라면, $6 < 2 x < 4$ 이다.

공집합에 대한 합과 곱

편의를 위해, 공집합 속의 모든 원소들의 합은 0, 곱은 1로 정의된다. 즉, 다음과 같다.

\sum_{x \in \emptyset} x = 0

\prod_{x \in \emptyset} x = 1

예를 들어, 합

\sum_{n = p}^{q} a_{n}

을 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

\sum_{n = p}^{q} a_{n} = {\begin{matrix} 0 & p > q \\ \sum_{n = p}^{q - 1} a_{n} + a_{q} & p \leq q \end{matrix}

영항 연산

편의를 위해, 집합 $A$ 의 0번 곱집합 $A^{\times 0}$ 은 임의의 한원소 집합 ${∙}$ 으로 정의된다. 이 경우, 집합 $A$ 위의 영항 연산

f : A^{\times 0} \to A

는 $A$ 의 원소

f (∙) \in A

와 일대일 대응한다.

집합론

수, 특히 자연수를 정의할 때 공집합의 집합 관계를 이용하여 정의하는 방법이 있다. $0 := \emptyset, 1 := {\emptyset}, 2 := {\emptyset, {\emptyset}}, \dots$ 이러한 방식을 사용하면 공집합으로부터 자연수를 정의할 수 있다. 이것은 무한 공리에서 사용하는 방법이다.

역사

공집합의 기호 $\emptyset$ 는 프랑스의 수학자이며 니콜라 부르바키의 회원이었던 앙드레 베유가 문자 Ø로부터 도입하였다. 그리스 문자 $ϕ$ 를 쓴 책도 있으나, 활자 문제로 비슷한 모양을 쓴 것일 뿐 실제로는 아무 관련이 없다.

같이 보기

헐모시 팔

외부 링크

“Empty set” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Empty set” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Empty set” (영어). 《nLab》.

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v t e 집합론
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