Anthony Smits speelde in de jeugd van AFC en AZ, waar hij in 2022 zijn eerste contract tekende. Als jeugdspeler van AZ debuteerde hij op 13 maart 2023 voor Jong AZ in het betaald voetbal, in de met 2-0 verloren uitwedstrijd tegen Roda JC Kerkrade. Hij kwam in de rust in het veld voor Ricuenio Kewal. Vanaf het seizoen 2024/25 maakte Smits deel uit van de selectie van Jong AZ. Hij scoorde zijn eerste doelpunt in de Eerste divisie op 22 november 2024, in de met 3-3 gelijkgespeelde thuiswedstrijd tegen ADO Den Haag. In 2025 verlengde hij zijn contract bij AZ met één jaar. In totaal scoorde hij zesmaal voor Jong AZ in 58 wedstrijden. Nadat zijn contract in 2026 afliep, vertrok Smits naar het OostenrijkseGrazer AK, waar hij een contract tot medio 2028 tekende.