Clubcarrière
Barkarson sloot zich in 2012 aan bij de jeugdopleiding van Völsungur en debuteerde daar in 2016 in het eerste elftal van de club in de 2. deild karla, waarin hij dat seizoen twee competitiewedstrijden speelde. Het seizoen 2017 speelde hij er zeven wedstrijden en scoorde twee doelpunten in diezelfde competitie.
Op 2 september 2017 sloot Barkarson zich aan bij het jeugdteam van Norwich City, waarvan het eerste elftal toen in de Championship speelde. Na een jaar in de jeugd tekende hij er op 30 juni 2018 zijn eerste profcontract. In augustus 2019 verliet Barkarson de club om zich aan te sluiten bij Fredrikstad FK in de Noorse 2. Divisjon. Tijdens zijn korte periode bij de club speelde hij drie competitieduels.
In 2020 keerde Barkarson terug naar zijn vaderland, waar hij tekende voor de IJslandse topclub Víkingur Reykjavík, spelend in de Úrvalsdeild. Hij speelde daar op 27 augustus 2020 in de enige UEFA Europa Leaguewedstrijd van het team in dat seizoen, toen de club na verlenging met 2-1 werd uitgeschakeld door het Sloveense Olimpija Ljubljana.
Op 27 januari 2022 werd bevestigd dat Barkarson zich bij SønderjyskE had aangesloten dat uitkomt in de Deense Superligaen. Hij tekende er een contract tot 30 juni 2026.
Na ruim drie seizoenen daar te hebben gespeeld, bevestigde de Belgische Challenger Pro League club Zulte Waregem op 19 augustus 2024 dat ze Barkarson (voor een transfersom van driehonderdduizend euro) hadden gecontracteerd en dat hij bij de club een contract had getekend tot 30 juni 2026. In zijn eerste seizoen werd hij met de club kampioen van de Eerste klasse B en promoveerde hij derhalve naar het hoogste niveau. Daar kwam hij in zijn tweede seizoen niet meer aan spelen toe in de hoofdmacht.
Op 2 februari 2026 werd vervolgens bekend dat Barkarson terugkeert naar Noorwegen en gaat spelen bij Sogndal, op dat moment spelend in de 1. divisjon, en waar hij een contract tekende tot eind 2028.
IJsland
Sogndal
.svg){kind=small}
