Benadering van pi

Benaderingen van de wiskundige constante ${\displaystyle \pi }$ (uitgesproken als pi) zijn in de loop der jaren steeds nauwkeuriger geworden. Hoewel er zeer complexe methodes zijn om een zo nauwkeurig mogelijke benadering te maken, zijn er ook minder secure, maar wel eenvoudigere methodes. Naast wiskundige bestaan er ook natuurkundige methodes.

Vroege geschiedenis

De vroegst bekende benadering van ${\displaystyle \pi }$ gebeurde in 2000 v.Chr. in het Babylonische rijk, waarbij voor de benadering ${\textstyle 3{\frac {1}{8}}\,\ (=3{,}125)}$ werd gebruikt. Dit komt overeen met een afwijking van ongeveer 1% ten opzichte van de werkelijke waarde.

In dezelfde tijd waren Egyptische wetenschappers ook met het vraagstuk bezig, die stelden dat een cirkel met diameter 9 dezelfde oppervlakte had als een vierkant met zijde 8. Dat zou impliceren dat ${\textstyle \pi ={\frac {256}{81}}\,\ (=3{,}1604...)}$, waarbij de afwijking ook ongeveer 1% is van de werkelijke waarde.

In 240 v.Chr. kwam Archimedes van Syracuse met zijn benadering voor pi. Deze benadering werd gebaseerd op geometrische basis. Hij gebruikte twee regelmatige veelhoeken die een cirkel inklemde om zo een interval te creëren waarin ${\displaystyle \pi }$ hoort te liggen. Deze methode was zeer intensief en duurde lang om te berekenen. Archimedes berekende met de hand tot aan een veelhoek met 96 zijdes, waaruit hij kon concluderen dat ${\textstyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}.}$ De bovengrens ${\textstyle {\frac {22}{7}}}$ werd voor een lange tijd als benadering gebruikt.

Door op de methode van Archimedes voort te bouwen konden er nauwere benaderingen worden gevonden. Zo kwam de astronoom Claudius Ptolemeus in 150 n.Chr. op de waarde van ${\textstyle 3{\frac {17}{120}}=3{,}141666...}$, en vond de Chinese wiskundige Tsu Chung-Chic in de 5de eeuw een methode om ${\displaystyle \pi }$ tot zeven cijfers correct te benaderen. In Europa werd deze precisie tot 1600 n.Chr. (getal van Metius (1611, Holland)) niet bereikt. Beiden kwamen uit op ${\textstyle 355/113=3{,}14159292.}$

Benadering van Kochański

Adam Adamandy Kochański (1631–1700) was een Pools wiskundige, klokkenmaker en natuurkundige die verbonden was aan het hof van Jan III Sobieski, koning van Polen van 1674 tot 1696. Kochański publiceerde in 1685 zijn meest bekende werk, Observationes Cyclometricæ ad facilitandam Praxin accommodatæ, dat gaat over de kwadratuur van de cirkel. In dat artikel komt ook een constructie voor waarmee het getal ${\displaystyle \pi }$ wordt benaderd.

Vanaf de middellijn ${\textstyle OB}$ van een cirkel met middelpunt ${\displaystyle M}$ en straal ${\displaystyle 1}$ lopen de loodlijnen uit ${\displaystyle O}$ en ${\displaystyle B}$ (op die middellijn), beide loodlijnen aan dezelfde kant daarvan. Daarop liggen de punten ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle C}$, waarbij ${\textstyle OA=3}$ en ${\textstyle \angle BMC={30}^{\text{o}}}$. Nu is: ${\textstyle BC=\tan(30^{\text{o}})={\tfrac {1}{3}}\surd 3.}$ Verder is het punt ${\displaystyle D}$ de loodrechte projectie van ${\displaystyle C}$ op de lijn ${\textstyle OA}$.
Dan is in de rechthoekige driehoek ${\textstyle ACD}$:

${\displaystyle {AC}^{2}={AD}^{2}+{CD}^{2}=(3-{\tfrac {1}{3}}\surd 3)^{2}+4=40\cdot {\tfrac {1}{3}}-2\surd 3}$

Zodat:

${\displaystyle AC={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}{\sqrt {(20-3\surd 3)}}=3,141533}$: lengte is ca. halve omtrek.

Kochański's benadering ${\displaystyle p}$ van ${\displaystyle \pi }$ is (in zes decimalen): ${\textstyle p=3{,}141533.}$

Het verschil van deze waarde met de exacte waarde van ${\displaystyle \pi }$ (= de booglengte van de halve cirkel) is ${\textstyle 0{,}000059.}$ Als de straal van de cirkel ${\textstyle 1\,{\text{m}}}$ is, dan is de fout in de benadering van ${\displaystyle \pi }$ dus ${\textstyle 0{,}06\,{\text{mm}}.}$

Benadering van Mascheroni

Lorenzo Mascheroni (1750–1800) was een Italiaans wis- en natuurkundige. In 1797 publiceerde hij zijn boek Geometria del Compasso, waarin hij bewijst dat elke zogeheten passer-en-liniaal-constructie met passer alleen kan worden uitgevoerd. In dat boek geeft hij ook een constructie waarmee het getal ${\displaystyle \pi }$ wordt benaderd.

Op de cirkel met middellijn ${\textstyle AD}$, middelpunt ${\displaystyle M}$ en straal ${\displaystyle 1}$, liggen de punten ${\displaystyle B}$ en ${\displaystyle C}$ zó, dat koordlengten ${\textstyle AB=BC=1\,\ (=CD).}$ Het punt ${\displaystyle E}$ ligt op de middelloodlijn van ${\textstyle AD}$ zó, dat ${\textstyle AE=AC.}$ Het punt ${\displaystyle F}$ is een snijpunt van de cirkel ${\textstyle (B,\,\ r=BE)}$ met de ‘basiscirkel’.
In de rechthoekige driehoek ${\textstyle ACD}$ is nu ${\textstyle \tan(60^{\text{o}})=AC/1=\surd 3,}$ zodat in de rechthoekige driehoek ${\textstyle MAE}$ geldt:

${\displaystyle ME={\sqrt {AE^{2}-AM^{2}}}={\sqrt {3-1}}=\surd 2}$

Is ${\displaystyle G}$ het snijpunt van ${\textstyle BC}$ en ${\textstyle ME,}$ dan is in driehoek ${\textstyle BEG}$:

${\displaystyle BE={\sqrt {BG^{2}+GE^{2}}}={\sqrt {{\tfrac {1}{4}}+(\surd 2-{\tfrac {1}{2}}\surd 3)^{2}}}={\sqrt {3-\surd 6}}}$

Dus is ${\textstyle BF={\sqrt {3-\surd 6}}.}$ Voor ${\textstyle AF}$ in de gelijkbenige driehoek ${\textstyle MAF}$ is dan:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}AF=\sin {\tfrac {1}{2}}(AMF)=\sin({30^{\text{o}}}+\arcsin({\tfrac {1}{2}}BF)),}$

zodat: ${\textstyle AF=2\cdot \sin(30^{\text{o}}+\arcsin({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3-\surd 6}}))}$

en ${\textstyle 2\cdot AF=3{,}142399}$: dubbele koordlengte is ca. halve omtrek.

Mascheroni's benadering ${\displaystyle p}$ van ${\displaystyle \pi }$ is (in vier decimalen): ${\textstyle p=3{,}1424.}$

Deze waarde verschilt ${\textstyle 0{,}0008}$ met de exacte waarde van ${\displaystyle \pi }$ (= de booglengte van de halve cirkel). Als de straal van de cirkel gelijk is aan ${\textstyle 1\,{\text{m}}}$, dan is de fout in de benadering van ${\displaystyle \pi }$ daarbij ${\textstyle 0,8\,{\text{mm}}.}$

Benadering van Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan (1887-1920) was een Indiase wiskundige. Hoewel hij controversieel was en onconventioneel te werk ging, wordt hij als een belangrijk figuur in de wiskunde van zijn tijd beschouwd. Hij speelde een cruciale rol in onder meer oneindige reeksen en de getaltheorie.

Ramanujan maakte gebruik van twee reeksen ${\textstyle Q}$ en ${\textstyle R}$, maar hij vermeldde niet wat deze waren. Nu weten we dat deze Eisenstein-reeksen zijn. Waarbij ${\textstyle Q(q):=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}}$ en ${\textstyle R(q):=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}},}$ met ${\textstyle |q|<1.}$ Deze reeksen gebruiken q(n), maar de waarde van q was lang onbekend. De Indiase wiskundige K. Venkatachaliengar (1908-2003) berekende deze uiteindelijk als volgt: ${\textstyle q=-\mathrm {exp} (-\pi {\sqrt {n}}).}$ Dit leidde tot een benadering van ${\displaystyle \pi }$ waar op verder gebouwd werd aan de hand van de Eisenstein-reeks en de modulaire j-invariant.

In 1920 vond Ramanujan een nog nauwkeurigere en efficiëntere benadering: ${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {8}}{9801}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!}{(n!)^{4}}}{\frac {[1103+26390n]}{369^{4n}}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{3^{4}11^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!}{(n!)^{4}}}{\frac {[1103+2\cdot 5\cdot 7\cdot 13\cdot 29n]}{(9\cdot 41)^{4n}}}}$

Benadering van Mahler

In 1953 vond de Duitse wiskundige Kurt Mahler (1902-1988) een benadering die er wiskundig iets eleganter uitziet.

${\textstyle \left|\pi -{\frac {p}{q}}\right|=q^{-42},}$ met ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} :p\land q\geq 2.}$

Mahler had ook vermeld dat de exponent 42 kon vervangen worden door 30 wanneer ${\textstyle q>q_{0},}$ waarbij ${\textstyle q_{0}}$ een onbekend natuurlijk getal is. In het algemeen kan er gesteld worden dat ${\textstyle \forall \gamma \in \mathbb {R} ,\exists \mu \geq 2\Rightarrow \epsilon >0:\exists q_{0}(\epsilon ),}$ die voldoet aan

${\textstyle \left|\gamma -{\frac {p}{q}}\right|\geq q^{-\mu -\epsilon },}$ ${\displaystyle \forall p\land q}$ met ${\displaystyle q\geq q_{0}(\epsilon ).}$

Breuk ${\textstyle p/q}$ nadert zo tot een reële ${\textstyle \gamma (\epsilon )}$.

Later verbeterde Maurice Mignotte de methode van Mahler, waarbij hij de exponent ${\textstyle \mu }$ van 30 tot 20 terugbracht.

Natuurkundige methoden

De Russische wiskundige Gregory Galperin (1953) bedacht een methode om het getal ${\displaystyle \pi }$ te bepalen, die later bekendheid kreeg door een video van de youtuber 3Blue1Brown. In feite gaat het dus niet om een benadering, maar om het exact bepalen van het getal. In deze methode wordt bij een theoretisch experiment een bal of blok op een wrijvingsloze ondergrond richting een andere bal of blok gestoten, waarna er enkel elastische botsingen plaatsvinden (botsingen zonder enig verlies van impuls en energie).

Experimenteel:

1. Stel N een vast positief natuurlijk getal (${\textstyle N\in \mathbb {N} }$) en 2 blokken met een massaverhouding ${\textstyle {\frac {M}{m}}=100^{N}}$
2. Plaats het blok met massa ${\textstyle m}$ tussen een muur en het grotere blok (massa ${\textstyle M}$)
3. Duw het grote blok snel naar het kleine blok
4. Tel alle botsingen met de muur (v_na = −v_voor) en het blok, waarbij blokje zeer snel gaat.

Algoritmisch:

1. Bepaal hoeveel cijfers (${\displaystyle d}$) je van ${\displaystyle \pi }$ wilt vinden
2. Zet de massa van blok 1 = 1 kg en blok 2 = ${\textstyle 100^{d-1}}$ kg
3. Tel alle botsingen met de muur en het blok.

Het aantal botsingen is het exacte cijfer van ${\displaystyle \pi }$. Hoewel de methode geraffineerd is, is ze als praktisch experiment zeer inefficiënt en onuitvoerbaar. Voor 20 cijfers achter de komma zou het blok 2 ${\textstyle 100\cdot 10^{19}}$kg moeten wegen; de kinetische energie moet gelijk blijven (en mag dus niet worden omgezet in warmte door wrijving en botsing).

Er zijn ook een aantal andere methodes voor benaderingen, zoals aan de hand van moleculen en het getal van Avogadro en de periodieke slinger.

Moderne tijd

In de moderne tijd worden er computeralgoritmes gebruikt om ${\displaystyle \pi }$ te bepalen. Deze algoritmes zijn geen benadering en kunnen op een efficiënte manier tot meer dan 1 biljoen cijfers na de komma accuraat vinden (Algoritmes om pi te bepalen). Het benaderen van pi is daardoor tot een zaak van het verleden gaan behoren.

Voor meeste toepassingen is er geen noodzaak om pi tot zover te kennen. Een meest grove afronding is 3, maar in de meeste toepassingen wordt 3,14 gebruikt als afronding bij berekeningen.

Zie ook

• Stelling van Mohr-Mascheroni
• Transcendent getal
• Benadering van een grootheid
• Algoritmes om pi te bepalen

Externe link

• (en) Eric W. Weisstein: Pi Approximations. Op: MathWorld--A Wolfram Web Resource.

Bronnen

• P. Molenbroek (1924): Leerboek der vlakke meetkunde. Groningen: P. Noordhoff N.V., 8ste druk (1939); pp. 389-403.
• (en) L. Berggren, J. & P. Borwein (2003): Pi, a source book. New York: Springer-Verlag, 3rd edition; p. 294, p. 297.

Noten