In de algebra is de discriminant (Latijn: discriminare, onderscheiden) van een polynoom een uitdrukking in de coëfficiënten van die informatie geeft over het aantal nulpunten van . De discriminant is alleen dan gelijk aan nul als het polynoom een of meer meervoudige nulpunten heeft.
De discriminant is vooral bekend uit de theorie van de vierkantsvergelijkingen, om de nulpunten van tweedegraadspolynomen mee te bepalen.
De algemene vorm van een vierkantsvergelijking met reële coëfficiënten en is:
De discriminant is in dit geval het getal:
waarin en de oplossingen zijn.
Er zijn drie mogelijkheden die in de figuur met drie parabolen worden geïllustreerd. De coëfficent van de drie bijbehorende tweedegraads polynomen is positief, het zijn dus drie dalparabolen.
De waarde van zegt iets over de oplossingsverzameling van de vergelijking:
Beschouw de volgende vergelijking:
Dit is een vierkantsvergelijking met en . De discriminant is dus:
De bovenstaande vergelijking heeft dus twee oplossingen, en wel en . Deze zijn hier met de wortelformule berekend, maar het had ook met de som-product-methode gekund. De wortelformule wordt zo genoemd omdat de oplossingen van de vergelijking en de wortels ervan hetzelfde zijn.
Beschouw nu de vierkantsvergelijking:
Nu is en en . Er volgt dat . De vergelijking heeft dus één meervoudige reële oplossing, .
Beschouw ten slotte de vergelijking:
Dan geldt en . Er volgt dat . De vergelijking heeft dus geen reële oplossingen. De vergelijking kan wel complex worden opgelost:
De algemene derdegraadsvergelijking is:
De discriminant hiervan is:
Als de discriminant van een dergelijke vergelijking met reële coëfficiënten strikt negatief is, heeft de vergelijking één reëel nulpunt. Als de discriminant strikt positief is, drie verschillende reële nulpunten. De waarde nul komt overeen met twee samenvallende reële nulpunten, er zijn dan twee verschillende nulpunten of er is maar een drievoudig nulpunt.
De volgende vergelijkingen hebben één reëel nulpunt. De discriminant ervan is en .
De eerste vergelijking heeft een uniek irrationaal reëel nulpunt tussen en , de tweede vergelijking heeft als enige reële nulpunnt .
De volgende vergelijkingen hebben drie reële nulpunten. Bij de eerste vergelijking zijn het de gehele getallen 0, -1 en 1. De nulpunten bij de tweede vergelijking zijn irrationaal.
Voor de algemene vorm:
is de discriminant:
Daarin zijn en de complexe nulpunten.
