Wortelformule

Met behulp van de wortelformule of abc-formule, een enkele keer het kanon genoemd, kan een vierkantsvergelijking worden opgelost. In een vierkantsvergelijking wordt een polynoom van de tweede graad aan nul gelijk gesteld, dus bestaat de oplossing van de vergelijking uit de nulpunten van het betrokken polynoom. De oplossingen worden ook de wortels van de vergelijking genoemd.

Gebruik

Bij een gegeven vierkantsvergelijking:

ax^{2}+bx+c=0;\quad a,b,c\in \mathbb {R

met de discriminant

D=b^{2}-4ac,

zijn er drie gevallen te onderscheiden, namelijk:

$D>0$ : de vergelijking heeft twee verschillende reële oplossingen
$D=0$ : de vergelijking heeft één reële oplossing of anders gezegd: twee samenvallende
$D<0$ : de vergelijking heeft geen reële oplossing

De oplossingen worden gegeven door de wortelformule:

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

In geval 2 met $D=0$ vallen de oplossingen samen tot de enige oplossing

x={\frac {-b}{2a}}

In geval 3 is er geen reële wortel. Binnen de complexe getallen zijn er wel twee wortels die met de wortelformule kunnen worden bepaald.

Complexe oplossingen

Als de discriminant negatief is, zijn er geen reële oplossingen. Met complexe getallen worden de twee uitkomsten geschreven als

x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}

Deze twee complexe oplossingen zijn elkaars complex geconjugeerde.

Andere vorm

Een andere vorm van de oplossing is

x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}

Deze vorm geeft, in het geval dat $b^{2}$ veel groter is dan $4ac$ , op een rekenmachine of computer betere numerieke benaderingen dan de gewone vorm.

Afleiding van de wortelformule

Om de vergelijking op te lossen wordt een kwadraat afgesplitst.

{\begin{array}{rcl}ax^{2}+bx+c&=&0\\ax^{2}+bx&=&-c\\x^{2}+{\dfrac {b}{a}}x&=&-{\dfrac {c}{a}}\\x^{2}+2{\dfrac {b}{2a}}x&=&-{\dfrac {c}{a}}\\x^{2}+2{\dfrac {b}{2a}}x+\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}&=&\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {c}{a}}\\\left(x+{\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}&=&{\dfrac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\dfrac {b}{2a}}&=&\pm {\sqrt {\dfrac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\\x_{1,2}&=&-{\dfrac {b}{2a}}\pm {\dfrac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\\x_{1,2}&=&{\dfrac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{array}}