Duale bundel

In de wiskunde is de duale bundel een operatie op vectorbundels die het begrip van een duale vectorruimte uitbreidt.

Definitie

De duale bundel van een vectorbundel $π : E \to X$ is de vectorbundel $π^{*} : E^{*} \to X$ waarvan de vezels de duale ruimtes zijn van de vezels van $E$ .

Op equivalente wijze kan $E^{*}$ worden gedefinieerd als de Hom-bundel $H o m (E, ℝ \times X),$ dat wil zeggen, als de vectorbundel van morfismen van $E$ naar de triviale lijnbundel $ℝ \times X \to X .$

Constructies en voorbeelden

Gegeven een lokale trivialisatie van $E$ met transitiefuncties $t_{i j},$ wordt een lokale trivialisatie van $E^{*}$ gegeven door dezelfde open overdekking van $X$ met transitiefuncties $t_{i j}^{*} = (t_{i j}^{T})^{- 1}$ (de inverse van de transpositie). De duale bundel $E^{*}$ wordt vervolgens geconstrueerd met behulp van de vezelbundelconstructiestelling. Specifieke gevallen worden gegeven door de volgende:

De duale bundel van een geassocieerde bundel is de bundel die hoort bij de duale representatie van de structuurgroep .
De duale bundel van de raakbundel van een differentieerbare variëteit is de coraakbundel.

Eigenschappen

Als de basisruimte $X$ paracompact en Hausdorff is, dan is een reële vectorbundel $E$ van eindige rang isomorf met de duale vectorbundel $E^{*}$ . Echter, net als voor vectorruimten is er geen natuurlijke keuze van een isomorfisme, tenzij $E$ voorzien is van een inwendig product.

De Hom-bundel $H o m (E_{1}, E_{2})$ van twee vectorbundels is canoniek isomorf met de tensorproductbundel $E_{1}^{*} \otimes E_{2} .$

Gegeven een morfisme $f : E_{1} \to E_{2}$ van vectorbundels over dezelfde ruimte bestaat er een morfisme $f^{*} : E_{2}^{*} \to E_{1}^{*}$ tussen hun duale bundels (in de omgekeerde volgorde), vezelgewijs gedefinieerd als de transpositie van elke lineaire afbeelding $f_{x} : (E_{1})_{x} \to (E_{2})_{x} .$ Zodoende definieert de dualebundelconstructie een contravariante functor van de categorie van vectorbundels en hun morfismen naar zichzelf.