Dynkinsysteem

Een dynkinsysteem op een niet-lege verzameling is in de maattheorie een verzameling deelverzamelingen vergelijkbaar met een sigma-algebra. Dynkinsystemen zijn naar de Russische wiskundige Eugene Dynkin genoemd. Ze ontlenen hun belang aan de toepassing, vooral in de integraalrekening van Lebesgue en de kansrekening, van de stelling van Dynkin.

Definitie

Beschouw een verzameling ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ van deelverzamelingen van een niet-lege verzameling ${\displaystyle \Omega }$. Dus is ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ een deelverzameling van de machtsverzameling van ${\displaystyle \Omega }$. Deze verzameling ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ is een dynkinsysteem als de volgende eigenschappen er op van toepassing zijn:

• ${\displaystyle \Omega }$ is een element van ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$.

${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {D}}}$.

• ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ is gesloten onder de relatieve complementvorming.

${\displaystyle A,B\in {\mathcal {D}}{\mbox{ en }}A\subseteq B\implies B\setminus A\in {\mathcal {D}}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ is gesloten onder de vereniging van stijgende rijen.

${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {D}}{\mbox{ en }}A_{n}\subseteq A_{n+1}\implies \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {D}}}$

Als ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ een willekeurige verzameling van deelverzamelingen van ${\displaystyle \Omega }$ is, dan is de doorsnede van alle dynkinsystemen die ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ omvatten, zelf ook een dynkinsysteem. We noemen deze doorsnijding het dynkinsysteem dat door ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ wordt gegenereerd. Het is tevens het kleinste dynkinsysteem dat ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ omvat.

De machtsverzameling van ${\displaystyle \Omega }$ is altijd een dynkinsysteem, dus er is altijd minstens één dynkinsysteem dat ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ omvat.

Een dynkinsysteem dat ook een pi-systeem is, is een sigma-algebra.

Stelling van Dynkin

Als ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ een verzameling deelverzamelingen is van ${\displaystyle \Omega }$ die gesloten is onder eindige doorsnede, en ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ een dynkinsysteem dat ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ omvat, dan omvat ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ook ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})}$, de sigma-algebra voortgebracht door de elementen van ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.