Effectieve massa

Afleiding via kinetische energie

De effectieve massa kan worden gevonden door de totale kinetische energie van de veer te berekenen. We gaan uit van een veer met lengte ${\displaystyle L}$ die is opgebouwd uit oneindig veel kleine massa-elementjes ${\displaystyle dm}$. Als ${\displaystyle u}$ de snelheid is van een willekeurig massa-elementje, wordt de kinetische energie van de gehele veer gegeven door de integraal:

${\displaystyle E_{k,{\text{veer}}}=\int _{m_{v}}{\tfrac {1}{2}}u^{2},dm}$

Voor een homogene veer geldt dat een elementje ter lengte ${\displaystyle dy}$ een massa heeft van ${\displaystyle dm=\left({\frac {m_{v}}{L}}\right)dy}$. Hierbij is ${\displaystyle y}$ de afstand vanaf het vaste ophangpunt. De snelheid van elk onderdeel van de veer is evenredig met zijn afstand tot het ophangpunt. Het uiteinde beweegt met de volledige snelheid ${\displaystyle v}$ van de massa ${\displaystyle M}$. Voor een elementje op afstand ${\displaystyle y}$ geldt dus: ${\displaystyle u={\frac {y}{L}}v}$. Dit vullen we in in de integraal:

${\displaystyle E_{k,{\text{veer}}}=\int _{0}^{L}{\tfrac {1}{2}}\left({\frac {y}{L}}v\right)^{2}\left({\frac {m_{v}}{L}}\right)dy}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\frac {m_{v}}{L^{3}}}v^{2}\int _{0}^{L}y^{2},dy}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\frac {m_{v}}{L^{3}}}v^{2}\left[{\frac {y^{3}}{3}}\right]_{0}^{L}}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {m_{v}}{3}}\right)v^{2}}$

Vergeleken met de standaardformule voor kinetische energie (${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$), gedraagt de veer zich dus alsof er een puntmassa van ${\displaystyle {\frac {m_{v}}{3}}}$ aan het uiteinde is bevestigd.

Totale energie en bewegingsvergelijking

Dit resultaat kunnen we gebruiken om de totale energie ${\displaystyle E}$ van een verticaal systeem te beschrijven. We definiëren verplaatsing ${\displaystyle x}$ als neerwaarts positief vanaf de niet-uitgerekte positie.

${\displaystyle E=\underbrace {{\tfrac {1}{2}}\left({\frac {m_{v}}{3}}\right)v^{2}} {\text{kinetisch veer}}+\underbrace {{\tfrac {1}{2}}Mv^{2}} {\text{kinetisch massa}}+\underbrace {{\tfrac {1}{2}}kx^{2}} {\text{veer-energie}}-\underbrace {{\tfrac {1}{2}}m_{v}gx} {\text{zwaartekracht veer}}-\underbrace {Mgx} _{\text{zwaartekracht massa}}}$

Hier is ${\displaystyle k}$ de veerconstante en ${\displaystyle g}$ de valversnelling. De zwaartekracht op de veer levert slechts de helft van de potentiële energie (${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{v}gx}$), omdat het massamiddelpunt van de veer slechts de helft van de afstand ${\displaystyle x}$ aflegt. Als we de afgeleide van deze totale energie naar de tijd nemen (met ${\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}}$ en versnelling ${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}}$), en ${\displaystyle {\frac {dE}{dt}}=0}$ stellen (energiebehoud), dan krijgen we na wegdelen van ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle \left(M+{\frac {m_{v}}{3}}\right)a=-kx+{\frac {1}{2}}m_{v}g+Mg}$

Het nieuwe evenwichtspunt ${\displaystyle x_{\mathrm {ev} }}$ vinden we door ${\displaystyle a=0}$ te stellen:

${\displaystyle x_{\mathrm {ev} }={\frac {g}{k}}\left(M+{\tfrac {1}{2}}m_{v}\right)}$

Als we de positie herdefiniëren ten opzichte van dit evenwichtspunt als ${\displaystyle {\bar {x}}=x-x_{\mathrm {ev} }}$, vereenvoudigt de bewegingsvergelijking tot de standaardvorm van een harmonische oscillator:

${\displaystyle \left(M+{\frac {m_{v}}{3}}\right)a=-k{\bar {x}}}$

De periode van dit systeem wordt daarmee:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {M+m_{v}/3}{k}}}}$

Dit bewijst dat de effectieve massa ${\displaystyle m_{v}/3}$ simpelweg kan worden opgeteld bij de hangende massa ${\displaystyle M}$, waarna de zwaartekracht geen verdere invloed meer heeft op de frequentie.