Clubcarrière
Kostić debuteerde in het seizoen 2010/11 voor Radnički 1923 in de Prva Liga en promoveerde dat jaar naar de Superliga. In maart 2012 leek hij bij Club Brugge te gaan tekenen. Hij onderging reeds de medische keuring en de clubs kwamen overeen met een transfer van 800.000 euro. Maar door eisen van zijn zaakwaarnemers ketste de transfer op het laatste moment af.
Op 10 april 2012 tekende hij bij FC Groningen een contract voor drie seizoenen met een optie voor nog twee. Groningen betaalde 1,25 miljoen euro voor hem. De transfer kwam in Servië in opspraak en bestuurders van Radnički alsmede een zaakwaarnemer werden gearresteerd wegens fraude. Seizoen 2012/2013 was een moeilijk seizoen voor Kostić. De op dat moment coach van FC Groningen, Robert Maaskant, vond hem niet waardig genoeg voor een basisplaats en passeerde hem bijna elke wedstrijd. Het seizoen 2013/2014 onder leiding van Erwin van de Looi kreeg Filip veel vertrouwen van de trainer. Een seizoen waarin hij altijd kon rekenen op een basisplaats. Dit vertrouwen werd terugbetaald in de resultaten op het veld. Zo wordt Kostić vaak geprezen in de media voor zijn optredens en is hij regelmatig te bewonderen in het Eredivisieteam van de week. In seizoen 2013/2014 werd Filip speler van het jaar bij FC Groningen.
Kostić verruilde in augustus 2014 FC Groningen voor VfB Stuttgart, waar hij een contract voor vijf jaar tekende. FC Groningen ontving zes miljoen euro voor hem. Daarbij werd tot één miljoen euro aan eventuele extra bonussen vastgelegd en een doorverkooppercentage van vijftien procent bedongen. Kostić maakte op 24 augustus 2014 zijn debuut voor Stuttgart, in een competitiewedstrijd tegen Borussia Mönchengladbach (1–1 gelijkspel). Hij degradeerde in het seizoen 2015/16 met de club uit de Bundesliga, de eerste degradatie voor Stuttgart in 39 jaar.
Kostić daalde zelf niet mee af naar de 2. Bundesliga. Hij tekende in juli 2016 een contract tot medio 2021 bij Hamburger SV, de nummer tien van Duitsland in het voorgaande seizoen. Dat betaalde circa €14 miljoen voor hem aan Stuttgart.
Op 14 april 2022 scoorde Kostić twee doelpunten in de met 3–2 gewonnen uitwedstrijd van de UEFA Europa League-kwartfinale tegen FC Barcelona in Camp Nou. Met 4–3 winst over twee wedstrijden wist Eintracht Frankfurt zich te plaatsen voor de halve finale. Eintracht Frankfurt wist de finale te winnen van Rangers. Kostić werd uitgeroepen tot Speler van het Seizoen en tevens als Speler met de Meeste Assists.
Op 12 augustus 2022 tekende Kostić een vierjarig contract bij Juventus, waarvoor circa €12 miljoen (plus eventueel €3 miljoen aan bonussen) werd betaald aan Eintracht Frankfurt.
Op 9 september 2024 werd Kostić door Juventus voor de rest van het seizoen verhuurd aan het Turkse Fenerbahçe. Hij speelde er 27 competitiewedstrijden en maakte daarin één doelpunt. Na afloop van de huurperiode keerde hij terug in Turijn, waar hij in het seizoen 2025/26 nog achttien competitieduels voor Juventus speelde.
Op 6 augustus 2026 tekende Kostić een tweejarig contract bij PSV, tot medio 2028. Hij kwam transfervrij over nadat zijn verbintenis bij Juventus afliep en kreeg in Eindhoven rugnummer 18. Twaalf jaar na zijn vertrek bij FC Groningen keerde hij daarmee terug in de Eredivisie. Bij PSV volgt hij Anass Salah-Eddine op als linksback.
.jpg)
.svg){kind=small}
Joegoslavië
PSV
