Formule van Stirling

De formule van Stirling is een benadering voor de faculteit van grote getallen. De formule luidt:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

Dit betekent ruwweg dat het rechterlid voor voldoende grote ${\displaystyle n}$ als benadering geldt voor ${\displaystyle n!}$. Om precies te zijn:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}=1}$

De formule is het resultaat van de eerste drie termen uit de ontwikkeling:

${\displaystyle \ln(n!)=n\ln(n)-n+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi n)+{\bigl (}{1 \over n}-{1 \over 30n^{3}}+{1 \over 105n^{5}}-{1 \over 140n^{7}}{\bigr )}/12+\ldots }$

De formule komt ook voor met alleen de eerste twee termen:

${\displaystyle \ln(n!)\sim n\ln(n)-n}$,

wat asymptotisch op hetzelfde neerkomt.

De formule werd ontdekt door De Moivre (1754†) in een iets andere vorm, namelijk:

${\displaystyle n!\sim c\;{\sqrt {n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

James Stirling (1770†), naar wie de formule genoemd is, toonde aan dat de constante ${\displaystyle c}$ gelijk is aan ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$.

Verloop van faculteit en benadering

In de onderstaande tabel staan ter vergelijking voor enkele waarden van ${\displaystyle n}$ de relevante grootheden opgesomd.

n	ln(n!)	n ln(n) − n	fout
10	15,1	13,0	13,9%
30	74,7	72,0	3,6%
50	148,5	145,6	1,9%
100	363,7	360,5	0,9%
1000	5912,1	5907,8	0,07%
10000	82108,9	82103,4	0,007%

${\textstyle \ln(n)+\ln((n-1)!)\gtrsim n(\ln(n)-1)}$

Toepassingen

De formule is belangrijk voor veel toepassingen in de statistische fysica, de thermo-dynamica en in de scheikunde (thermochemie).