Jones-veelterm

In de knopentheorie, een deelgebied van de topologie, is de Jones-veelterm een knoopveelterm, die in 1983 werd ontdekt door de Nieuw-Zeelandse wiskundige Vaughan Jones. Concreet is het een knoopinvariant van een georientieerde knoop of schakel, die aan elke gerichte knoop of schakel een Laurent-veelterm toekent in de variabele

${\displaystyle {\sqrt {t\ }}}$

met coëfficiënten, die een geheel getal zijn.

Definitie door middel van brackets

Stel wij hebben een georiënteerde schakel ${\displaystyle L}$, die wordt gegeven als een knoopdiagram. We zullen het Jones-polynoom ${\displaystyle V(L)}$ definiëren door gebruik te maken van het Kauffman-bracketpolynoom, dat we aanduiden met ${\displaystyle \langle ~\rangle }$. Het bracketpolynoom is een Laurent-veelterm in de variabele ${\displaystyle A}$ met gehele coëfficiënten.

Laten wij eerst de hulpveelterm definiëren. Die staat ook als het veralgemeende polynoom bekend.

${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle }$,

waarin ${\displaystyle w(L)}$ de kronkeling van ${\displaystyle L}$ in haar gegeven diagram aanduidt. De kronkeling in een diagram is het aantal positieve kruisingen ${\displaystyle L_{+}}$ in de onderstaande figuur minus het aantal negatieve kruisingen ${\displaystyle L_{-}}$. De mate van kronkeling is geen knoopinvariant.

Verband met Chern-Simons-theorie

Edward Witten toonde als eerste aan dat het Jones-veelterm van een gegeven knoop ${\displaystyle \gamma }$ kan worden verkregen door de Chern-Simons-theorie op de driesfeer met ijkgroep ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ te beschouwen en de vacuümverwachtingswaarde van een Wilson-loop ${\displaystyle W_{F}(\gamma )}$ te berekenen, geassocieerd met ${\displaystyle \gamma }$, en de fundamentele representatie ${\displaystyle F}$ van ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$.

Websites

• V Jones. The Jones Polynomial, 18 augustus 2005. voor de Universiteit van Californië - Berkeley
• M Thistlethwaite. Links with trivial Jones Polynomial. voor de University of Tennessee, Gearchiveerd op 27 september 2011
• MathWorld. Jones Polynomial.