Elbay genoot zijn jeugdopleiding bij Club Brugge. In juni 2024 tekende hij zijn eerste contract. Hiervoor speelde hij tijdens zijn jeugd bij Sparta Petegem (2016-2019) en Zulte Waregem.
Op 31 augustus 2025 maakte Elbay zijn profdebuut in het shirt van Club NXT, het tweede elftal van Club Brugge dat uitkomt in Eerste klasse B: op de vierde competitiespeeldag kreeg hij een basisplaats in de competitiewedstrijd tegen Jong Genk. Hij werd na 61 minuten gewisseld voor Wout Verlinden.