Nabla

Nabla, of del, aangeduid door het symbool ${\displaystyle \nabla }$, is een differentiaaloperator in de vectorrekening. De naam is afkomstig van een Assyrische benaming van een harp, die ongeveer de vorm van het gebruikte symbool heeft. Nabla wordt gebruikt als notatie voor de operatoren gradiënt, divergentie en rotatie.

De nabla-operator, in een n-dimensionale ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, met cartesische coördinaten (${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$), is een vector die bestaat uit alle partiële afgeleiden:

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)}$

Er zijn regels om de werking van de nabla-operator in verschillende assenstelsels naar elkaar te converteren.

Toepassingen

Nabla wordt onder andere gebruikt in de volgende definities:

• gradiënt:	${\displaystyle \operatorname {grad} \ f=\nabla f}$
• divergentie:	${\displaystyle \operatorname {div} \ \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} }$
• rotatie of rotor:	${\displaystyle \operatorname {rot} \ \mathbf {V} =\nabla \times \mathbf {V} }$
• laplace-operator:	${\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot (\nabla f)}$
• hessiaan:	${\displaystyle H_{f}=\nabla ^{2}f}$

De operand ${\displaystyle f}$ is hier een scalair veld, terwijl de operanden ${\displaystyle \mathbf {F} }$ en ${\displaystyle \mathbf {V} }$ vectorvelden zijn. Of met ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ de laplace-operator bedoeld wordt of de hessiaan is contextafhankelijk.

Voorbeeld

Zij ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$ de functie gegeven door

${\displaystyle f(x,y,z)=xyz+x^{2}}$

Dan is de gradiënt van ${\displaystyle f}$ in cartesische coördinaten:

${\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)=(yz+2x,xz,xy)}$

Coördinaatonafhankelijke definitie

Het is mogelijk nabla te definiëren onafhankelijk van het gebruikte coördinatensysteem. Daartoe generaliseert men de soortgelijke definitie van divergentie.

${\displaystyle \nabla \star F=\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {1}{\Delta V}}\oint \,\mathrm {d} S\star F}$

Hierin is ${\displaystyle F}$ een scalaire functie, een vector- of een tensorveld, en ${\displaystyle \star }$ het bijbehorende product.

Unicode

De nabla is opgenomen in Unicode als U+2207 ∇.