Poissonvergelijking

Een poissonvergelijking is een partiële differentiaalvergelijking die in een cartesisch coördinatenstelsel onderstaande vorm heeft:

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z)}$

De divergentie van de gradiënt van de scalaire functie ${\displaystyle \varphi (x,y,z)}$ is gelijk aan een andere scalaire functie ${\displaystyle f(x,y,z)}$.

Onafhankelijk van een coördinatenstelsel met de nablaoperator ${\displaystyle \nabla }$ genoteerd:

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =f}$

of met de laplace-operator:

${\displaystyle \Delta \varphi =f}$.

De vergelijking is naar de Franse wis- en natuurkundige Siméon Denis Poisson (1781 - 1840) genoemd. Het symbool ${\displaystyle \nabla }$ wordt nabla of nablaoperator genoemd en komt van het Assyrische woord voor harp.

Voorbeelden

De vergelijking komt onder andere in de elektriciteitsleer voor, als betrekking tussen de elektrische potentiaal V en een ladingsdichtheid ρ.

${\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\rho \over \varepsilon _{0}}}$

In een gebied waar zich geen elektrische lading bevindt, gaat de vergelijking in de laplace-vergelijking over:

${\displaystyle \nabla ^{2}V=0}$

Oplossingsmethoden

Er bestaan verschillende methoden voor een numerieke oplossing. De relaxatiemethode, een iteratief algoritme, is daar een voorbeeld van.

Literatuur

• EqWorld. Poisson Equation.
• LC Evans. Partial Differential Equations, 1997. voor de American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics 19
• AD Polyanin. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, 2002.