Priemideaal

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is het begrip priemideaal een algemene vorm van zowel een priemgetal als een irreducibel polynoom. Priemidealen zijn ondeelbaar in de zin dat ze niet als product van twee andere idealen kunnen worden geschreven.

Een ideaal $I$ in een ring $R$ is een priemideaal als $I$ niet gelijk is aan $R$ zelf en als van twee elementen waarvan het product in $I$ ligt ten minste een van de twee eveneens in $I$ ligt.

Tenzij uitdrukkelijk anders vermeld, gaat dit artikel over priemidealen in een commutatieve ring $R$ met eenheidselement 1 verschillend van nul.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden

In de gehele getallen vormen de $n$ -vouden een priemideaal wanneer $n$ een priemgetal is. De zesvouden vormen een ideaal, maar geen priemideaal. $2\times 3=6$ , terwijl 2 en 3 allebei geen zesvoud zijn.

De polynomen die een vast gegeven reëel getal $a$ als nulpunt hebben vormen in de ring van reële polynomen in één variabele een priemideaal. Al deze polynomen kunnen door $x-a$ worden gedeeld.

Zij $K$ een commutatief lichaam/veld en $R=K[x]$ de ring van polynomen in één variabele met coëfficiënten in $K$ . Het ideaal voortgebracht door een polynoom $f(x)$ is een priemideaal dan en slechts dan als $f(x)$ irreducibel is, dat wil zeggen niet het product is van twee polynomen van mindere graad.

De reële polynomen die een veelvoud zijn van $x^{2}-1$ vormen een ideaal, maar geen priemideaal.

x^{2}-1=(x-1)\times (x+1)

maar geen van beide factoren behoort tot het ideaal.

Elementaire eigenschappen

Een ideaal $I$ van $R$ is een priemideaal dan en slechts dan als de factorring $R/I$ een integriteitsgebied is.

De ring $R$ is zelf dan en slechts dan een integriteitsgebied als het singleton {0} een priemideaal is.

Het inverse beeld van een priemideaal onder een homomorfisme, van commutatieve ringen met neutraal element, is een priemideaal.

Specifieke idealen

Maximaal ideaal

Een maximaal ideaal is een ideaal dat niet bevat is in een ander ideaal, met uitzondering van de ring $R$ zelf. Ieder maximaal ideaal is priem, maar niet omgekeerd.

Radicaal ideaal

Een radicaal ideaal is een ideaal dat gelijk is aan zijn eigen radicaal, of nog, een ideaal dat zijn eigen wortels bevat:

\forall x\in I,\forall n\in \mathbb {N} :x^{n}\in I\implies x\in I

Priemidealen zijn radicaal, zoals blijkt uit een bewijs met behulp van volledige inductie naar $n$ .

Primair ideaal

Een primair ideaal is een ideaal $I$ dat niet gelijk is aan de ring $R$ zelf, en waarbij voor ieder product van twee elementen dat in $I$ ligt, een macht van minstens een van de twee factoren eveneens in $I$ ligt:

\forall x,y\in R:x.y\in I\implies \exists n\in \mathbb {N} ,x^{n}\in I\vee y^{n}\in I

Priemidealen zijn primair: kies $n=1$ . Het omgekeerde is in het algemeen niet waar, maar als $I$ primair is, dan is zijn radicaal een priemideaal.

Multiplicatieve deelverzameling

Een multiplicatieve deelverzameling $S$ van een ring $R$ is een deelverzameling van $R$ die het eenheidselement bevat en die voor de vermenigvuldiging gesloten is:

1\in S\wedge \forall x,y\in S,x.y\in S

Een priemideaal is dan een ideaal waarvan het complement een multiplicatieve verzameling is. Sterker geldt nog:

Stelling

Als $S$ een multiplicatieve verzameling is en $I$ een ideaal dat disjunct is met $S$ , dan bestaat er een priemideaal dat $I$ omvat en dat nog steeds disjunct is met $S$ .

Lokalisatie

De lokalisatie $R_{S}$ van de ring $R$ in de multiplicatieve verzameling $S$ , ook wel breukenring genoemd, is de verzameling breuken van de vorm

{\frac {r}{s}},\ r\in R,\ s\in S

Hierbij zijn twee breuken gelijkwaardig als ze kunnen worden vereenvoudigd:

{\frac {r}{s}}={\frac {r'}{s'}}\Leftrightarrow \exists t\in S,t(r.s'-r'.s)=0

De optelling en vermenigvuldiging van breuken gehoorzaamt aan de rekenregels

{\frac {r}{s}}+{\frac {r'}{s'}}={\frac {r.s'+r'.s}{s.s'}}

{\frac {r}{s}}.{\frac {r'}{s'}}={\frac {r.r'}{s.s'}}

De lokalisatie van een ring $R$ in een priemideaal $p$ is de lokalisatie in de multiplicatieve verzameling $R\backslash p$ . Enigszins verwarrend wordt ze $R_{p}$ genoteerd.

Spectrum

Het spectrum van een ring is de verzameling van alle priemidealen, genoteerd ${\hbox{Spec}}(R).$

Zariskitopologie

Het spectrum van $R$ wordt uitgerust met een topologie door als gesloten verzamelingen te nemen: de ruimte $R$ zelf, en elke verzameling priemidealen die een vast gegeven ideaal $I$ omvatten. Dit heet de Zariski-topologie van ${\hbox{Spec}}(R).$

Spectrumschoof

Een schoof associeert met elke open verzameling van een topologische ruimte een algebraïsche structuur, en met elke inclusie $U\subset V$ tussen open verzamelingen, een homomorfisme.

Op het spectrum van $R$ construeert men als volgt een schoof van ringen. Met een willekeurige open verzameling $U$ associëren we de ring ${\mathcal {O}}(U)$ van alle functies $f$ van $U$ naar de disjuncte verenigingen van lokalisaties

f:U\to \coprod _{p\in U}R_{p}:p\mapsto f(p)\in R_{p}

die elk priemideaal $p$ afbeelden op een element van zijn eigen lokalisatie $R_{p}$ , en die in de omgeving van gelijk welk punt van $U$ kunnen worden geschreven als een quotiënt van twee elementen van $R$ :

\forall p\in U\exists V\in {\mathcal {V}}(p),\exists r,s\in A,\forall q\in V:s\notin q\implies f(q)={\frac {r}{s}}

Hierbij is het gelijkteken op te vatten als een identiteit tussen twee elementen van $R_{q}$ .

Het ringhomomorfisme tussen ${\mathcal {O}}(U)$ en ${\mathcal {O}}(V)$ is de restrictie van de functies $f$ tot een deelverzameling van hun domein.

Geassocieerd priemideaal van een moduul

Zij $m$ een moduul over de ring $R$ . Een geassocieerd priemideaal van $M$ is een priemideaal van $R$ dat bestaat uit de elementen die een gegeven vast element $m$ van $M$ annihileren, dat wil zeggen dat de scalaire vermenigvuldiging de nulvector oplevert:

p(m)=\{r\in R|r.m=0\}

De annihilator van een gegeven element $m$ is altijd een ideaal, maar niet altijd een priemideaal. Binnen de collectie van dergelijke idealen, met uitzondering van het triviale ideaal voor $m=0$ , zijn de maximale elementen wel allemaal priemidealen.

Priemidealen in niet-commutatieve ringen

Een (tweezijdig) ideaal $p$ van een niet-commutatieve ring $R$ heet priemideaal als het aan de volgende twee eigenschappen voldoet:

Als $a$ en $b$ twee elementen van $R$ zijn zodat voor alle elementen $R$ van $R$ het product $a.r.b$ in $p$ ligt, dan ligt ook $a$ of $b$ in $p$ ,
$p$ is niet de hele ring $R$ .

Voor commutatieve ringen is deze definitie gelijkwaardig met de eerste. Voor niet-commutatieve ringen is de definitie minder streng. Een ideaal van een niet-commutatieve ring dat aan de oorspronkelijke, strengere voorwaarden voldoet, heet compleet priemideaal.

Voorbeeld

In de ring van vierkante n×n-matrices over een lichaam $K$ is het triviale ideaal, dat uit alleen de nulmatrix bestaat, een priemideaal, maar geen compleet priemideaal.

Voetnoten

↑ (en) R Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer 1977, ISBN 978-0-387-90244-9
↑ H Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press 1986, ISBN 978-0-521-36764-6, Engelse bewerking van het Japanse origineel Kakan kan ron (1980)

[1] (en) R Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer 1977, ISBN 978-0-387-90244-9

[2] H Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press 1986, ISBN 978-0-521-36764-6, Engelse bewerking van het Japanse origineel Kakan kan ron (1980)