Rechtenwaaier

De rechtenwaaier (ook wel lijnenwaaier), in twee of meer dimensies voorkomend, en de vlakkenwaaier in drie dimensies zijn meetkundige objecten, die tot de zogenoemde grondvormen (Grundgebilde) behoren, waarmee de projectieve meetkunde zich zowel aanschouwelijk als exact axiomatisch laat opbouwen. Een grondvorm is een (on)eindige verzameling gelijksoortige deelruimten (in dit geval lijnen) met één gemeenschappelijke drager (in dit geval een punt). Deze zogenoemde drager is een andersoortige deelruimte.

Het concept grondvorm, zoals de lijnen- en vlakkenwaaier, laat zich weergeven in termen van algebra, zoals hieronder.

Beide termen zijn aanschouwelijke, exacte begrippen van de projectieve meetkunde. De rechtenbundel of lijnenbundel en vlakkenbundel, zijn grondvormen voorkomend in drie (of meer) dimensies. De tweede is een (on)eindige verzameling vlakken met één gemeenschappelijk dragerpunt, zonder gemeenschappelijke lijn. De eerste is een (on)eindige verzameling rechten met één gemeenschappelijk dragerpunt, zonder gemeenschappelijk vlak.

Stel je voor een vlakke verzameling lijnen {a, b, c} met een gemeenschappelijke deelruimte: punt A. De naam van deze lijnenwaaier is dan de verzameling A = {a, b, c}. Deze rechtenwaaier kan natuurlijk nog worden verenigd en uitgebreid met meer lijnen, die punt A bevatten. Opmerkelijk hierbij is dat deze verzameling 1-dimensionaal is, hoewel de figuur een 2-dimensionaal beeld vertoont. De lijnenwaaier is namelijk isomorf met zijn verzameling snijpunten met een lijn buiten de drager.

Zo kun je je ook een verzameling vlakken met één gemeenschappelijke dragerlijn indenken. De doorsnede van de vlakkenwaaier met een willekeurig vlak is een lijnenwaaier. Ook de vlakkenwaaier is hiermee isomorf en daarom een 1-dimensionale verzameling. Hieruit blijkt dat ook een verzameling evenwijdige lijnen tot de lijnwaaier moet worden gerekend De rol van het dragerpunt wordt in dat geval op zich genomen door een gemeenschappelijke richting.

Rechtenwaaier bepaald door twee snijdende rechten

Gegeven twee niet evenwijdige vlakken:

${\displaystyle e_{1}\,:\,u_{1}x\,+\,v_{1}y\,+\,w_{1}\,=\,0}$

${\displaystyle e_{2}\,:\,u_{2}x\,+\,v_{2}y\,+\,w_{2}\,=\,0}$

Dan is de rechtenwaaier de verzameling van alle rechten die door het snijpunt van deze twee vlakken gaan. De waaiervergelijking is dan:

${\displaystyle k\,(u_{1}x\,+\,v_{1}y\,+\,w_{1})\,+\,m\,(u_{2}x\,+\,v_{2}y\,+\,w_{2})\,=\,0}$

De reële parameters ${\displaystyle k}$ en ${\displaystyle m}$:

• ... mogen niet beide nul zijn;

Wel kan een van beide nul zijn: als ${\displaystyle k}$ nul is, vindt men als lid (element) van de waaier de tweede rechte ${\displaystyle e_{2}}$, en als ${\displaystyle m}$ nul is, de eerste rechte ${\displaystyle e_{1}}$. De twee rechten waarop de waaier gebaseerd is, zijn dus beide ook lid van de waaier.

• ... zijn slechts op een gemeenschappelijke factor na bepaald. Bijvoorbeeld, de keuze (${\displaystyle k=2,m=3}$) geeft dezelfde rechte als de keuze (${\displaystyle k=200,m=300}$).

Rechtenwaaier door een punt

De verzameling van alle rechten door een gegeven punt kan door middel van de waaier gevonden worden. Men kan immers op eenvoudige manier twee rechten door een gegeven punt ${\displaystyle P(x_{o},y_{o})}$ vinden, namelijk de verticale en de horizontale rechte door het punt:

${\displaystyle e_{1}\,:\,x\,=\,x_{o}}$

${\displaystyle e_{2}\,:\,y\,=\,y_{o}}$

De vergelijking van de waaier door het gegeven punt is dan:

${\displaystyle k\,(x\,-\,x_{o})\,+\,m\,(y\,-\,y_{o})\,=\,0}$

Vlakkenwaaier bepaald door twee snijdende vlakken

Gegeven twee niet evenwijdige vlakken:

${\displaystyle \alpha _{1}\,:\,a_{1}x\,+\,b_{1}y\,+\,c_{1}z\,+\,d_{1}\,=\,0}$

${\displaystyle \alpha _{2}\,:\,a_{2}x\,+\,b_{2}y\,+\,c_{2}z\,+\,d_{2}\,=\,0}$

Dan is de vlakkenwaaier de verzameling van alle vlakken die door de snijlijn van deze vlakken gaan. Die snijlijn wordt ook wel de drager van de waaier genoemd. De waaiervergelijking is dan:

${\displaystyle k\,(a_{1}x\,+\,b_{1}y\,+\,c_{1}z\,+\,d_{1})\,+\,m\,(a_{2}x\,+\,b_{2}y\,+\,c_{2}z\,+\,d_{2})\,=\,0}$

De reële parameters ${\displaystyle k}$ en ${\displaystyle m}$:

• ... mogen niet beide nul zijn;

Wel kan een van beide nul zijn: indien ${\displaystyle k}$ nul is, vindt men als lid van de waaier het tweede vlak ${\displaystyle \alpha _{2}}$, en indien ${\displaystyle m}$ nul is, het eerste vlak ${\displaystyle \alpha _{1}}$. De twee vlakken waarop de waaier gebaseerd is, zijn dus beide ook lid van de waaier.

• ... maar zijn slechts op een gemeenschappelijke factor na bepaald. Bijvoorbeeld, de keuze (${\displaystyle k=2,m=3}$) geeft hetzelfde vlak als de keuze (${\displaystyle k=200,m=300}$).

Vlakkenwaaier door een gegeven rechte

De vlakkenwaaier door een gegeven rechte kan bekomen worden door twee willekeurige maar verschillende vlakken te kiezen die de rechte bevatten. Met deze twee vlakken kan dan de waaier opgesteld worden.

Voorbeeld

Zoek de rechte door het punt P(5,3) en door het snijpunt van:

${\displaystyle e_{1}\,:\,x\,+\,y\,-\,4\,=\,0}$

${\displaystyle e_{2}\,:\,2x\,-\,y\,-\,5\,=\,0}$

De rechte die gevraagd wordt is dus lid van de waaier door deze twee rechten. De waaiervergelijking is:

${\displaystyle k\,(x+y-4)\,+\,m\,(2x-y-5)\,=\,0}$

Men eist nu dat het gegeven punt (5,3) op de waaier ligt. Dit geeft een voorwaarde op de waaierparameters k en m:

${\displaystyle 4k\,+\,2m\,=\,0}$

Gelijk welke keuze van k en m die hieraan voldoet levert de gevraagde rechte. Kies bijvoorbeeld:

${\displaystyle k\,=\,1,\,en\,m\,=\,-2}$

Dan vindt men, na vereenvoudiging:

${\displaystyle x\,-\,y\,-\,2\,=\,0}$

Indien hetzelfde voorbeeld wordt uitgewerkt met P(0,4), bekomt men als voorwaarde op de waaierparameters:

${\displaystyle 0k\,+\,9m\,=\,0}$

Dit betekent dat m = 0, en bijgevolg dat k gelijk welke waarde verschillend van nul mag krijgen. Het betekent meetkundig dat het gebruikte punt P toevallig reeds op een van de gebruikte rechten ligt. Deze rechte is dan ook de gevraagde rechte.

Zie ook

• Cirkelbundel