Beginjaren
Vanaf zijn vierde jaar stond Stam voor het eerst op het ijs, nadat hij met zijn familie naar een schaatswedstrijd van zijn vader op de Weissensee was gaan kijken. Zijn vader zette hem op een slee, waarmee hij zijn eerste rondes op het ijs maakte. Vanaf zijn zesde jaar begon Stam met schaatsen samen met zijn vader en zijn broers bij IJsclub De IJsvrienden in Wijk en Aalburg. Op zevenjarige leeftijd werd hij lid van deze ijsvereniging.
Als eerstejaars A-junior bij het KKT behaalde hij de zilveren medaille op de 5000 meter en werd hij Nederlands kampioen marathonschaatsen op kunstijs. In de zomer daarna besloot hij zich volledig op de schaatssport te focussen. In de daaropvolgende winter kreeg hij een contract bij Team Jumbo-Visma.
In zijn tweede jaar bij de junioren werd hij als reserve ingevlogen voor de juniorenwereldbekers schaatsen in Seinäjoki, Finland. Daar eindigde hij op de 3000 meter als tweede. Bij de Wereldkampioenschappen schaatsen junioren 2023 reed hij een persoonlijk record en behaalde hij de zilveren medaille op de 5000 meter. Samen met Sijmen Egberts en Tim Prins reed hij de ploegenachtervolging. De Noren deden nog een poging om de titel te veroveren, maar slaagden daar niet in. Hierdoor werd de Nederlandse ploeg wereldkampioen.
Overstap naar de senioren
Tijdens het Wereldbekerkwalificatietoernooi schaatsen 2023/2024 schaatste hij de eerste 10.000 meter uit zijn loopbaan in 13.03,01. Het was eveneens de eerste keer dat Stam in een uitverkocht Thialf reed.
In 2024 verlengde hij zijn contract bij Team Essent tot en met 2027.
Eind 2025 behaalde Stam tijdens de De Vier van Noord-Holland 2025 zijn eerste overwinning op kunstijs. In de openingswedstrijd op de Jaap Edenbaan reageerde hij op een aanval van zijn broer Maikel Stam en Niels Overvoorde. Zij hadden een halve ronde voorsprong en de terugzakkende Lars Woelders en Jordy Harink hielpen hen aan een ronde voorsprong. De drie rijders zouden vervolgens uitmaken wie de wedstrijd zou winnen, waarbij Remco Stam de snelste was in de eindsprint. In het eindklassement werd hij vijfde.
In februari 2026 won Stam de Eindhoven Trofee door twee van de vier afstanden te winnen. Hiermee kwalificeerde hij zich voor de NK allround 2026.
Tijdens de NK allround 2026 wist Stam op drie van de vier afstanden een persoonlijk record te rijden en eindigde hij achter Marcel Bosker als tweede in het eindklassement. Voor de slotafstand, de 10.000 meter, bedroeg zijn achterstand op Bosker dertien seconden. Het lukte Stam niet om deze achterstand goed te maken. Het was bovendien de enige afstand waarop hij geen persoonlijk record reed. Daarnaast greep hij net naast een startplaats voor de WK allround 2026. Alleen de Nederlandse kampioen kreeg een startplaats en dat was in dit geval Bosker.
Nederland
