Sigmoïdefunctie

Een sigmoïdefunctie of S-functie is een wiskundige functie met een S-vormige grafiek. In het bijzonder wordt er de logistische functie mee aangeduid.

Definitie

De basisvorm van een sigmoïdefunctie is de functie die voor ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ gedefinieerd is door

${\displaystyle \operatorname {sig} (t)={\frac {1}{1+e^{-t}}}}$

Sigmoïdefuncties worden onder andere gebruikt in kunstmatige neurale netwerken.

Een voorbeeld van een sigmoïdefunctie is de Fermi-Diracverdeling uit de statistische mechanica:

${\displaystyle F(E)=\operatorname {sig} ((E_{F}-E)/kT)={\frac {1}{1+e^{(E-E_{F})/kT}}}}$

Hierin is

• ${\displaystyle E}$ de energie van een toestand,
• ${\displaystyle E_{F}}$ het Fermi-niveau,
• ${\displaystyle k}$ de Boltzmannconstante en
• ${\displaystyle T}$ de absolute temperatuur.

Andere sigmoïde functies

Andere S-vormige curves zijn de logistische functie en de Gompertz-functie.

De Gompertz-functie is verwant aan deze sigmoïdefuncties.

${\textstyle y(t)=a\cdot \mathrm {e} ^{-b\cdot ^{-c\cdot t}}}$

waarin:

• ${\displaystyle y(t)}$ grootte op moment ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle a}$ is de asymptoot (maximum waarde/draagcapaciteit). ${\textstyle \lim _{t\to \infty }a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}=a\mathrm {e} ^{0}=a}$
• ${\displaystyle e}$ (e = 2.71828..., het grondtal van de natuurlijke logaritme (ln).
• ${\displaystyle b}$ is de verplaatsing langs de x-as
• ${\displaystyle c}$ is de coefficient voor de groeisnelheid