Simplex (wiskunde)

Een simplex of n-simplex is in de wiskunde een ${\displaystyle n}$-dimensionaal analogon van de driehoek. Preciezer is een simplex het convexe omhulsel van ${\displaystyle n+1}$ onafhankelijke punten in een vectorruimte, dat wil zeggen dat geen ${\displaystyle m+2}$ van de punten in een ${\displaystyle m}$-dimensionale deelruimte liggen.

In het bijzonder is

• een 0-simplex een punt,
• een 1-simplex een lijnstuk,
• een 2-simplex een driehoek en
• een 3-simplex een viervlak,

in alle gevallen met hun inwendige. De naam zou er op zijn gebaseerd dat het de eenvoudigste vorm in een ${\displaystyle d}$-dimensionale ruimte is.

Regelmatige simplex

Een simplex heet regelmatig als de afstand tussen twee van de ${\displaystyle n+1}$ punten steeds hetzelfde is. Als deze afstand telkens 1 is, is de inhoud van het regelmatige simplex

${\displaystyle {\frac {\ {\sqrt {n+1\ }}\ }{n!\ {\sqrt {2^{n}\ }}}}}$

Standaard simplex

Een ${\displaystyle n}$-simplex is een ${\displaystyle n}$-dimensionaal object. Het kan in de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ liggen, maar ook in een willekeurige hogerdimensionale ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$ met ${\displaystyle q>n}$.

Een meer symmetrische vorm ontstaat als het simplex met de eenheidsvectoren als hoekpunten. Dit simplex wordt het standaard ${\displaystyle n}$-simplex genoemd en is de deelverzameling ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ gegeven door

${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\cdots ,t_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \forall i\$ :\ \Sigma _{i}{t_{i}}=1{\mbox{ en }}t_{i}\geq 0\right\}}

Het simplex ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ligt in het affiene hypervlak dat ontstaat door de voorwaarde ${\displaystyle t_{i}\geq 0}$ in bovenstaande definitie weg te laten. Het standaard ${\displaystyle n}$-simplex is een regelmatige polytoop met standaard ${\displaystyle (n-1)}$-simplexen als zijden.

De hoekpunten van het standaard ${\displaystyle n}$-simplex zijn de punten

${\displaystyle e_{0}=(1,0,0,\ldots ,0,0)}$

${\displaystyle e_{1}=(0,1,0,\ldots ,0,0)}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle e_{n}=(0,0,0,\ldots ,0,1)}$.

Er is een kanonieke afbeelding van de standaard ${\displaystyle n}$-simplex naar een willekeurige ${\displaystyle n}$-simplex met hoekpunten ${\displaystyle (v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n})}$ gegeven door

${\displaystyle (t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i}t_{i}v_{i}}$

De coëfficiënten ${\displaystyle t_{i}}$ worden de genormaliseerde barycentrische coördinaten van een punt in de ${\displaystyle n}$-simplex genoemd.

Toepassingen

De simplexmethode en de Nelder-Mead-methode werken met een simplex.