Spons van Menger

In de wiskunde is de spons van Menger, ook de spons van Menger-Sierpiński of de spons van Sierpinski, is een fractal. Het is een universele kromme in de zin dat de spons van Menger een topologische dimensie één heeft. Elke willekeurige kromme of graaf die wordt beschreven is homeomorf aan een willekeurige deelverzameling van de spons van Menger. De spons van Menger is de driedimensionale uitbreiding van de cantorverzameling en het tapijt van Sierpiński en is in 1926 als eerste door de Oostenrijkse wiskundige Karl Menger beschreven in het kader van zijn fundamentele onderzoek naar de topologische dimensie.

Constructie

De constructie van een spons van Menger verloopt in de volgende stappen:

1. Begin met een kubus, de eerste afbeelding in de rij van vier beneden.
2. Verdeel elk zijde van deze kubus in negen vierkanten. Dit verdeelt de kubus in 27 kleinere kubussen.
3. Haal de kubus in het midden van elke zijde weg, haal ook de kubus in het midden weg. Er worden in totaal zeven kubussen weggehaald en er blijven er 20 over, zoals in de tweede afbeelding onder. Dit is de spons van Menger van niveau 1.
4. Herhaal de stappen 1 tot en met 3 voor elke van overblijvende kleinere kubussen.

Een tweede herhaling geeft een niveau 2 spons zoals in de derde afbeelding, de derde herhaling een niveau 3 spons enzovoort. De spons van Menger moet men zien als de limiet van dit proces na een oneindig aantal herhalingen of iteraties.

Het aantal kubussen neemt toe met ${\displaystyle 20^{n}}$, waarin ${\displaystyle n}$ staat voor het aantal iteraties dat op de eerste kubus is toegepast.

Iteraties	Aantal kubussen	Cumulatief
0	1	1
1	20	21
2	400	421
3	8 000	8 421
4	160.000	168.421
5	3.200.000	3.368.421
6	64.000.000	67.368.421

Overigens is ${\displaystyle 20^{0}=1}$.

Eigenschappen

Elke zijde van de spons van Menger is een tapijt van Sierpiński en verder is elke doorsnede van de spons van Menger met een diagonaal of een medium van de beginkubus ${\displaystyle M_{0}}$ een cantorverzameling.

Wanneer bovenstaande stappen tot in het oneindige zouden worden doorgevoerd dan zou de spons een oneindig groot oppervlak krijgen en een volume nul insluiten. De spons heeft een hausdorff-dimensie van ongeveer 2,726833.

Literatuur

• K Menger. General Spaces and Cartesian Spaces, 1926. in Comm. to the Amsterdam Academy of Sciences. Engelse vertaling is opnieuw uitgegeven in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley, 1993, ISBN 0-201-58701-7
• K Menger. Dimensionstheorie, 1928. B.G Teubner Publishers, Leipzig

Websites

• MathWorld. Menger Sponge.
• Puzzle Hunt — artistieke video waarin de spons van Menger en de paradox van Zeno over Achilles en de schildpad voorkomen

Zie de categorie Menger sponges van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.