Wortel 3

Breuken

• Wortel 3 kan door de breuk 97/56 ≈ 1,732142857… worden benaderd. Ondanks de kleine noemer van maar 56 wijkt deze benadering minder dan 1/10.000, ongeveer 9,2×10⁻⁵, af van de juiste waarde. De afronding tot 1,732 is nauwkeurig binnen 0,01% van de echte waarde.
• Archimedes klemde 3 in tussen de kwadraten van twee breuken
  

(265/153)² < 3 < (1351/780)²

en vond met die breuken twee benaderingen die nauwkeurig zijn tot op 2/23409, in vier decimalen, en 1/608400, in zes decimalen, respectievelijk.

Geneste uitdrukking

De volgende geneste uitdrukkingen convergeren naar √3:

${\displaystyle {\sqrt {3}}=2-2\left({\tfrac {1}{2}}-\left({\tfrac {1}{2}}-\left({\tfrac {1}{2}}-\left({\tfrac {1}{2}}-\ldots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}=}$

${\displaystyle ={\frac {7}{4}}-4\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\dots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}}$

Voor de eerste uitdrukking geldt bijvoorbeeld:

${\displaystyle 2-2\,({\tfrac {1}{2}}-A)^{2}=x}$,

met ${\displaystyle A}$ recursief bepaald door:

${\displaystyle A=({\tfrac {1}{2}}-A)^{2}}$

Dus

${\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}-A+A^{2}}$,

waaruit volgt

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}=1-2A+A^{2}=(1-A)^{2}}$

dus

${\displaystyle A=1-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$,

zodat inderdaad

${\displaystyle x=2-{\tfrac {1}{2}}\,({\sqrt {3}}-1)^{2}={\sqrt {3}}}$