Zernikepolynoom

Zernikepolynomen zijn onderling orthogonale polynomen die op de eenheidsschijf zijn gedefinieerd. Er wordt in de geometrische optica mee gerekend. Ze zijn naar Frits Zernike genoemd, die deze polynomen afleidde. Zernikepolynomen worden gebruikt als reeksontwikkeling voor de berekening van golffronten voor optische apparaten, maar ze komen ook voor in de oogheelkunde voor.

Definities

Er zijn even en oneven zernikepolynomen. De even polynomen zijn gedefinieerd als

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\ \cos(m\ \varphi )}$

en de oneven als

${\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi ),}$

waarin ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle n}$ niet-negatieve gehele getallen zijn, met ${\displaystyle n\geq m}$. Het getal ${\displaystyle \rho }$ is de genormaliseerde radiale afstand en ${\displaystyle \varphi }$ is de azimutale hoek in radialen. De radiale polynomen ${\displaystyle R}$ zijn gedefinieerd als

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{(n-m)/2}\ {\frac {(-1)^{k}\ (n-k)!}{k!\ ((n+m)/2-k)!\ ((n-m)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\ k}}$

of

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {\Gamma (n+1)\,{}_{2}F_{1}(-{\frac {1}{2}}(|m|+n),{\frac {1}{2}}(|m|-n);-n;\rho ^{-2})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}(2+n+m))\Gamma ({\frac {1}{2}}(2+n-m))}}\rho ^{n}}$

voor ${\displaystyle n-m}$ even, en zijn identiek gelijk aan 0 voor ${\displaystyle n-m}$ oneven. ${\displaystyle \Gamma }$ is de gammafunctie en ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ de hypergeometrische functie.

De radiële polynomen zijn orthogonaal over de eenheidsschijf

${\displaystyle \int _{0}^{1}R_{n}^{m}(\rho )R_{p}^{m}(\rho )\rho {\rm {d}}\rho ={\frac {1}{2(n+1)}}\delta _{np}R_{n}^{m}(1)}$

met ${\displaystyle \delta _{np}}$ de kroneckerdelta.

Voorbeelden

De eerste zernikepolynomen zijn:

${\displaystyle R_{0}^{0}(r)=1}$

${\displaystyle R_{1}^{1}(r)=r}$

${\displaystyle R_{2}^{0}(r)=2r^{2}-1}$

${\displaystyle R_{2}^{2}(r)=r^{2}}$

${\displaystyle R_{3}^{1}(r)=3r^{3}-2r}$

${\displaystyle R_{3}^{3}(r)=r^{3}}$

${\displaystyle R_{4}^{0}(r)=6r^{4}-6r^{2}+1}$

${\displaystyle R_{4}^{2}(r)=4r^{4}-3r^{2}}$

${\displaystyle R_{4}^{4}(r)=r^{4}}$

${\displaystyle R_{5}^{1}(r)=10r^{5}-12r^{3}+3r}$

${\displaystyle R_{5}^{3}(r)=5r^{5}-4r^{3}}$

${\displaystyle R_{5}^{5}(r)=r^{5}}$

${\displaystyle R_{6}^{0}(r)=20r^{6}-30r^{4}+12r^{2}-1}$

${\displaystyle R_{6}^{2}(r)=15r^{6}-20r^{4}+6r^{2}}$

${\displaystyle R_{6}^{4}(r)=6r^{6}-5r^{4}}$

${\displaystyle R_{6}^{6}(r)=r^{6}}$

Toepassingen

• Bij de vervaardiging van precisie-optiek worden zernikepolynomen gebruikt om door interferometrische analyses hogere-ordefouten te karakteriseren en de gewenste nauwkeurigheid te bereiken.
• Afwijkingen van het hoornvlies of van de ooglens ten opzichte van de ideale bolvorm, die afbeeldingsfouten veroorzaken, worden in de optometrie en de oogheelkunde met deze functies beschreven.
• Ze worden toegepast in adaptieve optiek, waar zij kunnen worden gebruikt om vertekening, de golffrontvervorming, door atmosferische turbulentie te compenseren. Ze worden in de astronomie gebruikt, maar ook in spionagesatellieten. Een van de zerniketermen, voor ${\displaystyle m=0,n-2}$, wordt de ontfocus-term genoemd. Door de uitgangswaarde van deze term te koppelen aan een regelsysteem, kan er automatische scherp worden gesteld.
• Het Nederlandse bedrijf ASML past zernikepolynomen toe bij het doorrekenen van hun wafersteppers, die met behulp van UV-lithografie maskers afbeelden op silicium wafers, bedekt met een lichtgevoelige laag, voor het vervaardigen van chips.
• Een andere toepassing van zernikepolynomen ligt in de extended Nijboer-Zernike-theorie voor diffractie en aberraties.
• Zernikepolynomen worden vaak als basisfuncties gebruikt voor beeldmomenten in de beeldanalyse, bijvoorbeeld voor optical character recognition.

Bronnen

• Born, M. & Wolf, E., "Principles of Optics", Oxford: Pergamon, 1970
• C. E. Campbell, "Matrix method to find a new set of Zernike coefficients form an original set when the aperture radius is changed", J. Opt. Soc. Am. A 20 (2003) 209.
• C. Cerjan, "The Zernike-Bessel representation and its application to Hankel transforms", J. Opt. Soc. Am. A 24 (2007) 1609.
• S. A. Comastri, L. I. Perez, G. D. Perez, G. Martin and K. Bastida Cerjan, "Zernike expansion coefficients: rescaling and decentering for different pupils and evaluation of corneal aberrations", J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 9 (2007) 209.
• G. Conforti, "Zernike aberration coefficients from Seidel and higher-order power-series coefficients", Opt. Lett. 8 (1983) 407.
• G-m. Dai and V. N. Mahajan, "Zernike annular polynomials and atmospheric turbulence", J. Opt. Soc. Am. A 24 (2007) 139.
• G-m. Dai, "Scaling Zernike expansion coefficients to smaller pupil sizes: a simpler formula", J. Opt. Soc. Am. A 23 (2006) 539.
• J. A. Díaz, J. Fernández-Dorado, C. Pizarro, and J. Arasa, "Zernike Coefficients for Concentric, Circular, Scaled Pupils: An Equivalent Expression," Journal of Modern Optics, 56(1), 2009 pp. 149–155.
• J. A. Díaz and J. Fernández-Dorado,"Zernike Coefficients for Concentric, Circular, Scaled Pupils" from The Wolfram Demonstrations Project,
• J. Herrmann, "Cross coupling and aliasing in modal wave-front estimation", J. Opt. Soc. Am. 71 (1981) 989.
• P. H. Hu, J. Stone and T. Stanley, "Application of Zernike polynomials to atmospheric propagation problems", J. Opt. Soc. Am. A 6 (1989) 1595.
• E. C. Kintner, "On the mathematical properties of the Zernike Polynomials", Opt. Acta 23 (1976) 679.
• G. N. Lawrence and W. W. Chow, "Wave-front tomography by Zernike Polynomial decomposition", Opt. Lett. 9 (1984) 287.
• L. Lundstrom and P. Unsbo, "Transformation of Zernike coefficients: scaled, translated and rotate wavefronts with circular and elliptical pupils", J. Opt. Soc. Am. A 24 (2007) 569.
• V. N. Mahajan, "Zernike annular polynomials for imaging systems with annular pupils", J. Opt. Soc. Am. 71 (1981) 75.
• R. J. Mathar, "Third Order Newton's Method for Zernike Polynomial Zeros", arXiv:math.NA/0705.1329.
• R. J. Mathar, "Zernike Basis to Cartesian Transformations", Serb. Astron. J. 179 (2009) 107-120.
• MathWorld. Zernike Polynomial.
• R. J. Noll, "Zernike polynomials and atmospheric turbulence", J. Opt. Soc. Am. 66 (1976) 207.
• A. Prata Jr and W. V. T. Rusch, "Algorithm for computation of Zernike polynomials expansion coefficients", Appl. Opt. 28 (1989) 749.
• J. Schwiegerling, "Scaling Zernike expansion coefficients to different pupil sizes", J. Opt. Soc. Am. A 19 (2002) 1937.
• C. J. R. Sheppard, S. Campbell and M. D. Hirschhorn, "Zernike expansion of separable functions in Cartesian coordinates", Appl. Opt. 43 (2004) 3963.
• H. Shu, L. Luo, G. Han and J.-L. Coatrieux, "General method to derive the relationship between two sets of Zernike coefficients corresponding to different aperture sizes ", J. Opt. Soc. Am. A 23 (2006) 1960.
• W. Swantner and W. W. Chow, "Gram-Schmidt orthogonalization of Zernike polynomials for general aperture shapes", Appl. Opt. 33 (1994) 1832.
• W. J. Tango, "The circle polynomials of Zernike and their application in optics", Appl. Phys. A 13 (1977) 327.
• R. K. Tyson, "Conversion of Zernike aberration coefficients to Seidel and higher-order power series aberration coefficiets", Opt. Lett. 7 (1982) 262.
• J. Y. Wang and D. E. Silva, "Wave-front interpretation with Zernike Polynomials", Appl. Opt. 19 (1980) 1510.
• R. Barakat, "Optimum balanced wave-front aberrations for radially symmetric amplitude distributions: Generalizations of Zernike polynomials", J. Opt. Soc. Am. 70 (1980) 739.
• A. B. Bhatia and E. Wolf, "The Zernike circle polynomials occurring in diffraction theory", Proc. Phys. Soc. B 65 (1952) 909.
• T. A. ten Brummelaar, Modeling atmospheric wave aberrations and astronomical instrumentation using the polynomials of Zernike, Opt. Commun. 132 (1996) 329.
• M. Novotni, R. Klein, "3D Zernike Descriptors for Content Based Shape Retrieval", in proceedings of The 8th ACM Symposium on Solid Modeling and Applications June 2003.
• M. Novotni, R. Klein, "Shape retrieval using 3D Zernike descriptors", in Computer Aided Design, Vol. 36, No. 11, pages 1047-1062, 2004.

Websites

• The Extended Nijboer-Zernike website.
• RJ Mathar. onder andere Zernikepolynomen uitgeschreven, 3 augustus 2007. gearchiveerd