Diagonal

For avenyen i Barcelona, se Avinguda Diagonal.

En diagonal er i vid forstand en skrå linje eller noe som kan karakteriseres ved en skrå linje.

I matematikk kan en diagonal være

• en diagonal i et polygon eller en mangekant: et linjestykke som forbinder to hjørner i polygonet, slik at hjørnene ikke ligger på samme sidekant. Hvis en mangekant er konkav, vil noen diagonaler ligge utenfor mangekanten.
• en diagonal i et polyeder: et linjestykke som forbinder to hjørner i polyederet, slik at hjørnene ikke ligger på samme sideflate. En utvidet definisjon sier at en diagonal i et polyeder er et linjestykke mellom to hjørner, så lenge disse ikke ligger på samme sidekant.
• en diagonal i en matrise: En samling av matriseelementer ${\displaystyle a_{ij}}$ der ${\displaystyle |i-j|={\text{konstant}}}$.
• en diagonal i et kartesisk produkt ${\displaystyle V\times V}$: en undermengde som inneholder alle elementer der begge koordinatene er like, det vil si på forma ${\displaystyle (v,v)}$.

Ordet «diagonal» stammer fra det greske διαγώνιος = diagonios, fra dia- som betyr «gjennom», «på tvers» og gonia som betyr «vinkel». Siste stavelse er beslektet med gony, med betydning «kne».

Diagonal i et polygon

Et enkelt polygon er et polygon der ingen av sidekantene krysser hverandre. Antall diagonaler ${\displaystyle n_{d}}$ i en enkel ${\displaystyle n}$-kant er gitt av:

${\displaystyle n_{d}={\frac {n(n-3)}{2}}.}$

Tabellen under gir antall diagonaler som funksjon av antall sider i en mangekant:

Diagonal i et polyeder

En diagonal i en mangekant som utgjør en av sideflatene i et polyeder, kalles en sidediagonal. Tilsvarende kan romdiagonal brukes dersom en ønsker å poengtere at diagonalen går i det indre av polyederet.

Diagonal i en matrise

I en kvadratisk matrise kalles matriseelementene ${\displaystyle a_{ii}}$, der begge indeksene er like, for hoveddiagonalen eller bare diagonalen. Tilsvarende kalles alle elementer der ${\displaystyle |i-j|={\text{konstant}}>0}$ for en sidediagonal.

I en identitetsmatrise er alle elementene utenfor hoveddiagonalen lik null. Elementene på hoveddiagonalen er lik 1. En matrise med nullelementer overalt bortsett fra på hoveddiagonalen, kalles generelt en diagonalmatrise. En ${\displaystyle (3\times 3)}$-identitetsmatrise har forma

${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$

I den følgende matrisen ${\displaystyle M}$ er bare matriseelementer i en øvre sidediagonal ulik null:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}.}$

Diagonal i et kartesisk produkt

Det kartesiske produktet ${\displaystyle V\times V}$ er en mengde av ordnede par ${\displaystyle (v,w)}$, slik at både ${\displaystyle v}$ og ${\displaystyle w}$ er elementer i mengden ${\displaystyle V}$. Diagonalen eller diagonalmengden er undermengden som inneholder alle ordende par der de to koordinatene er like.

Planet R² er et kartesisk produkt R ${\displaystyle \times }$ R, dvs en mengde av ordnede par ${\displaystyle (x,y)}$ der både ${\displaystyle x}$ og ${\displaystyle y}$ er relle tall. Diagonalmengden er lik mengden av ${\displaystyle (x,x)}$, det vil si den rette linja som har ligning ${\displaystyle y=x}$. Dette er en skrå linje i planet, noe som forklarer bruken av navnet «diagonal» også for det kartesiske produktet ${\displaystyle V\times V}$ i mer abstrakt betydning.

Se også

• Diagonaldekk

Referanser