Funksjonal (matematikk)

En funksjonal er i matematikk en funksjon fra et vektorrom inn på den tilhørende kroppen. Mange varianter av definisjonen finnes i litteraturen. Studiet av egenskaper og bruk av funksjonaler inngår i det matematiske delområdet funksjonalanalyse.

I mange anvendelser er vektorrommet et rom av funksjoner. En funksjonal er da en «funksjon av en funksjon».

Spesielt viktige er lineære funksjonaler, og «funksjonal» brukes ofte synonymt med «lineær funksjonal».

Definisjon

La ${\displaystyle V}$ være et vektorrom over en kropp ${\displaystyle K}$. En funksjonal er en funksjon ${\displaystyle f:V\to K}$. Vanligvis vil ${\displaystyle K}$ være mengden av reelle tall ${\displaystyle \mathbb {R} }$ eller komplekse tall ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Generelt er altså en funksjonal en avbildning fra et høyere-ordens vektorrom inn på et en-dimensjonalt rom.

Mange varianter av definisjonen kan finnes i litteraturen, inkludert de følgende

• Definisjonen begrenses til å gjelde når ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$.
• En funksjonal er en lineær funksjonal.^{[trenger referanse]}
• Definisjonsmengden er et normert vektorrom og funksjonen er lineær og begrenset.
• Definisjonsmengden til en funksjonal er en mengde av funksjoner.

Dersom både argumentmengden og verdimengden til ${\displaystyle f}$ er funksjoner, kan ${\displaystyle f}$ betraktes som en generalisert funksjonal. Dette er også brukt som definisjon på en funksjonal.

Eksempler

En norm definert i et vektorrom er en funksjonal. I et indreproduktrom kan en definere funksjonaler ved

${\displaystyle l(x)=\langle y,x\rangle }$,

der vektoren ${\displaystyle y}$ er en parameter.

Lengden av en kontinuerlig kurve ${\displaystyle y=f(x)}$ er en funksjonal:

${\displaystyle L(y)=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(y')^{2}}}dx}$

En avbildning fra en kvadratisk matrise på den tilhørende determinanten er en funksjonal.

Den kinetiske energien ${\displaystyle E}$ uttrykt ved en hastighetsvektor ${\displaystyle {\bf {v}}}$ er en funksjonal:

${\displaystyle E={1 \over 2}m({\bf {{v}\cdot {\bf {{v})}}}}}$

Lineære funksjonaler

En lineær funksjonal er en funksjonal med egenskapen

${\displaystyle l(\alpha x+\beta y)=\alpha l(x)+\beta l(y)\qquad x,y\in V,\alpha ,\beta \in K}$.

Mengden av lineære funksjonaler på ${\displaystyle V}$ danner også et vektorrom, kalt den algebraiske dualen til ${\displaystyle V}$. Lineære funksjonaler bevarer addisjon og skalarmultiplikasjon fra vektorrommet ${\displaystyle V}$.

Referanser

Litteratur

• Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6.