Kardinalitet

Kardinalitet er i matematikk en mengde med den egenskapen som beskriver størrelsen av mengden ved å bruke et kardinaltall. Noen ganger brukes begrepet på en numerisk måte. For endelige mengder er da kardinaliteten antallet elementer i mengden.

Sammenlikning av mengder

Når vi sammenlikner to mengder, sier vi at en mengde A og en mengde B har samme kardinalitet hvis og bare hvis det eksisterer en bijeksjon, dvs. en injektiv (en-til-en-) og en surjektiv (på-) funksjon mellom de to mengdene. For eksempel har mengden av partall den samme kardinaliteten som mengden av naturlige tall, ettersom funksjonen f(n) = 2n er en bijeksjon. Bijeksjoner kalles også en-til-en-korrespondanser.

Tellbare og ikke-tellbare mengder

Enhver mengde som har den samme kardinaliten som mengden av naturlige tall, sies å være en tellbart uendelig mengde hvis kardinaliteten er mindre enn den for de naturlige tall når den er en endelig mengde, ellers er mengden ikke-tellbar.

Kardinaliteten for de naturlige tall er alef-null (${\displaystyle {\aleph _{0}}}$), mens kardinaliteten for de reelle tall er ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$.

Kardinaliteten for de naturlige tall er mindre enn kardinaliteten for de reelle tall (jf. Cantors diagonalargument). Kontinuumhypotesen uttrykker at det ikke finnes noe kardinaltall mellom kardinaliteten for de reelle tall og kardinaliteten for de naturlige tall. (Denne hypotesen er uavhengig av Zermelo-Fränkels aksiomsystem, og kan derfor ikke bevises eller motbevises i dette systemet.)

Eksempler og øvrige egenskaper

• Hvis for eksempel mengden X er definert av X = {a, b, c}, og mengden Y av Y = {epler, appelsiner, pærer}, så gjelder card A = card B, dvs. de har begge tre elementer.

• Hvis en har to mengder X og Y og card X er mindre enn eller lik card Y, da finnes det en mengde Z som er en delmengde av Y slik at card X = card Z.

En slik egenskap tillater sammenlikning av hvor mange elementer som er inneholdt i to eller flere mengder uten behov for en mellommengde (dvs. de naturlige tall).

• Innenfor området ikke-tellbare mengder, finnes det en klasse av mengder Y slik at card Y = card R, hvor R er mengden av reelle tall. Slike mengder sies å ha «kontinuumets kardinalitet».

• Det kan bevises at det ikke finnes en mengde X slik at card Y < card X for en virkårlig mengde Y.

Anta at det finnes en slik mengde og kall denne X. La Y være potensmengden av X, card Y = 2^(card X). Herav følger selvmotsigelsen card Y > card X

Referanser

Se også

• Kardinaltall
• Alef-tall
• Kontinuumhypotesen