Laplacetransformasjon

Laplacetransformasjon er en matematisk operasjon som overfører en funksjon fra tidsdomenet til frekvensdomenet. Laplace brukes ofte til analyse av forskjellige dynamiske systemer. Ved å bruke transformasjonen vil spesielt løsning av lineære, ordinære differensialligninger og dets relaterte initialverdiproblem – samt systemer av disse – kunne utføres lettere.

En ordinær differensialligning blir ofte forkortet som ODE (Ordinary Differential Equation), som brukt videre i denne artikkelen.

Definisjon

Den ensidige laplacetransformasjonen er definert:

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$

der ${\displaystyle s\!}$ er variabelen man bruker i laplacedomenet og ${\displaystyle f(t)\!}$ er funksjonen som skal transformeres. Her er ${\displaystyle s\!}$ en kompleks variabel:

${\displaystyle \ s=\sigma +i\omega }$

Invers laplacetransformasjon

Den inverse laplacetransformasjonen er definert ved følgende

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds}$

Dette impliserer videre at

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}\right\}=f(t)}$

og

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}\right\}=F(s)}$

Linearitet

Laplacetransformasjonen er en lineær operasjon; hvilket betyr at, for en hver funksjon ${\displaystyle f(t)\!}$ og ${\displaystyle g(t)\!}$ som har eksisterende transformasjoner, kan man dele opp transformasjonen slik:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+b{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}}$

Vekstrestriksjon

Per definisjon har en funksjon ${\displaystyle f(t)\!}$ en laplacetransformasjon hvis den ikke vokser for fort. Det er gitt en vekstrestriksjon for alle ${\displaystyle t\geqq 0\!}$ på følgende måte:

${\displaystyle \left\vert f(t)\right\vert \leqq Me^{kt}}$

der ${\displaystyle M\!}$ og ${\displaystyle k\!}$ er konstanter. Siden ${\displaystyle f(t)\!}$ er stykkevis kontinuerlig, vil også ${\displaystyle e^{-st}f(t)\!}$ være integrerbar over et hvert Intervall intervall på t-aksen. Fra forrige ligning, kan man da utlede bevis for eksistens:

${\displaystyle \left\vert {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}\right\vert =\left\vert \int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\right\vert \leqq \int _{0}^{\infty }\left\vert f(t)\right\vert e^{-st}\,dt\leqq \int _{0}^{\infty }Me^{kt}e^{-st}\,dt={\frac {M}{s-k}}}$

Hvis en funksjon ${\displaystyle f(t)\!}$ er definert og stykkevis kontinuerlig på et hvert intervall der ${\displaystyle t\geqq 0\!}$ og tilfredsstiller vekstrestriksjonen for alle ${\displaystyle t\geqq 0\!}$ og konstantene ${\displaystyle M\!}$ og ${\displaystyle k\!}$ , vil laplacetransformasjonen ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}\!}$ eksistere for alle ${\displaystyle s>k\!}$.

Transformasjoner av differensialkvotienter og integraler

Laplace og ODE'er

Tabell over noen kjente laplacetransformasjoner

Tidsdomene ${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}}$	Laplace s-domene ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}$
${\displaystyle 1\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$
${\displaystyle t\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}$
${\displaystyle t^{2}\!}$	${\displaystyle {\frac {2!}{s^{3}}}}$
${\displaystyle t^{n}\!}$ ${\displaystyle (n=0,1,\cdots )}$	${\displaystyle {\frac {n!}{s^{n+1}}}}$
${\displaystyle t^{a}\!}$ positiv ${\displaystyle a}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (a+1)}{s^{a+1}}}}$
${\displaystyle e^{at}\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{s-a}}}$
${\displaystyle cos(\omega t)\!}$	${\displaystyle {\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}}$
${\displaystyle sin(\omega t)\!}$	${\displaystyle {\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}}$
${\displaystyle cosh(at)\!}$	${\displaystyle {\frac {s}{s^{2}-a^{2}}}}$
${\displaystyle sinh(at)\!}$	${\displaystyle {\frac {a}{s^{2}-a^{2}}}}$
${\displaystyle e^{at}cos(\omega t)\!}$	${\displaystyle {\frac {s-a}{(s-a)^{2}+\omega ^{2}}}}$
${\displaystyle e^{at}sin(\omega t)\!}$	${\displaystyle {\frac {\omega }{(s-a)^{2}+\omega ^{2}}}}$

Se også

• Fouriertransformasjon

Kilder

• Kreyszig, Erwin (2011), Advanced Engineering Mathematics (10th utgave), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-470-64613-7 .