Ortogonalitet

Ortogonalitet er i matematikk en generalisering av vinkelrett til et indreproduktrom. To vektorer i rommet er ortogonale dersom indreproduktet mellom dem er lik null. Lineære transformasjoner kalles ortogonale dersom de bevarer indreproduktet.

Ortogonale vektorer er lineært uavhengige av hverandre. Ortogonalitet spiller en viktig rolle i mange område i matematikk, inlkudert matriseteori. approksimasjonsteori og fourieranalyse.

Etymologi

Ordet «ortogonal» har opphav i det greske ordet orthogonios, som betyr rettvinklet. På 1600- og 1700-tallet brukte en i engelsk også orthogon, orthogonium og orthogonion om en rettvinklet trekant.

Definisjon

I et indreproduktrom ${\displaystyle V}$, med indreproduktet ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$, er to vektorer ${\displaystyle \mathbf {u} }$ og ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ortogonale dersom indreproduktet mellom dem er lik null:

${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0}$.

At to vektorer er ortogonale kan også skrives som ${\displaystyle \mathbf {u} \perp \mathbf {v} }$.

En vektor ${\displaystyle \mathbf {u} }$ er ortogonal til en mengde ${\displaystyle S}$ dersom ${\displaystyle \mathbf {u} }$ er ortogonal til hver vektor i ${\displaystyle S}$. To mengder ${\displaystyle S}$ og ${\displaystyle R}$ er ortogonale dersom hver vektor i ${\displaystyle S}$ er ortogonal til ${\displaystyle R}$ og hver vektor i ${\displaystyle R}$ er ortogonal til ${\displaystyle S}$.

En mengde av vektorer er ortogonal dersom vektorene er parvis ortogonale.

Det ortogonale komplementet til en mengde ${\displaystyle S}$ er en mengde ${\displaystyle S^{\perp }}$ definert ved

${\displaystyle S^{\perp }=\lbrace \mathbf {v} \in V\ |\ \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0\quad \forall \mathbf {u} \in S\rbrace }$.

Eksempel

Mengden av kontinuerlige funksjoner på et intervall ${\displaystyle [a,b]}$ er et indreproduktrom med indreprodukt

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0}$.

I intervallet ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ vil de trigonometriske funksjonene ${\displaystyle f(x)=\sin x}$ og ${\displaystyle g(x)=\cos x}$ være ortogonale.

Egenskaper til ortogonale vektorer

Nullvektoren er ortogonal til alle andre vektorer.

Ortonormerte vektorer

I et normert vektorrom er en mengde vektorer ${\displaystyle (\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n})}$ ortonormert dersom

${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{i},\mathbf {u} _{j}\rangle =\delta _{ij}}$.

Her er ${\displaystyle \delta _{ij}}$ Kronecker-delta. Vektorene er altså både ortogonale og har lengde lik 1.

En ortonormert mengde ${\displaystyle S}$ i et Hilbert-rom er maksimal hvis og bare hvis den eneste vektoren som er ortogonal til ${\displaystyle S}$ er nullvektoren. En slik mengde definerer en basis i Hilbert-rommet.

Ortogonal projeksjon

En lineær transformasjon ${\displaystyle P:V\to V}$ sies å være idempotent dersom ${\displaystyle P^{2}=P}$, og transformasjonen er da en projeksjon. Enhver vektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$ i ${\displaystyle V}$ kan skrives som en sum av to vektorer ${\displaystyle \mathbf {u} }$ og ${\displaystyle \mathbf {w} }$, der den første ligger i rekkevidden til ${\displaystyle P}$, den andre i nullrommet til ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {v} &=\mathbf {u} +\mathbf {w} \\P(\mathbf {v} )&=P(\mathbf {u} )+P(\mathbf {w} )=P(\mathbf {u} )=\mathbf {u} \\P(\mathbf {w} )&=0\end{alignedat}}}$

Hvis ${\displaystyle S}$ er et lukket underrom av et Hilbert-rom ${\displaystyle V}$, så kan en tilsvarende skrive enhver vektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$ i ${\displaystyle V}$ som en sum

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {w} \qquad \mathbf {u} \in S,\ \ \mathbf {w} \in S^{\perp }}$.

Transformasjonen ${\displaystyle P(\mathbf {v} )=\mathbf {u} }$ kalles den ortogonale projeksjonen av ${\displaystyle \mathbf {v} }$ på ${\displaystyle S}$.

Den ortogonale projeksjonen minimerer avstanden fra ${\displaystyle \mathbf {v} }$ til ${\displaystyle S}$. Dette er den beste tilnærmingen til ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ved hjelp av vektorer fra ${\displaystyle S}$.

Ortogonale transformasjoner

En ortogonal transformasjon er en lineær transformasjon ${\displaystyle T:V\to V}$ som bevarer indreproduktet:

${\displaystyle \langle T\mathbf {u} ,T\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$.

Både lengder og vinkler blir bevart ved en ortogonal transformasjon. Geometrisk svarer transformasjonen til en rotasjon.

Når vektorrommet ${\displaystyle V}$ er endelig-dimensjonalt, kan en linær transformasjon representeres ved en matrise. Til en ortogonal transformasjon svarer da en ortogonal matrise. En ortogonal matrise ${\displaystyle M}$ har egenskapene

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}M^{T}M&=I\\M^{-1}&=M^{T}.\end{alignedat}}}$

Søylene i en ortogonal matrise er ortogonale vektorer, og det samme gjelder for rekkene.

Ortogonale funksjoner

Referanser

Litteratur

• Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6. 

Eksterne lenker

• (en) Orthogonality – kategori av bilder, video eller lyd på Commons