Sinussetning

Sinussetningen er i trigonometrien en læresetning om en direkte sammenheng mellom vinklene i en generell trekant i planet og deres motstående sider. Betegner A, B og C de tre hjørnene i trekanten med de tilsvarende vinklene α, β og γ, sier setningen at

{a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }

hvor a, b og c angir lengdene til sidene motsatt de tilsvarende vinklene. Disse tre forholdene har derfor en konstant verdi som er lik med diameteren i den omskrevne sirkel. Setningen kan føres helt tilbake til den greske naturviter Klaudios Ptolemaios og ble senere videreutviklet av muslimske og indiske matematikere.

Disse formlene er nyttige når man skal beregne sidene i en trekant der to vinkler og en side er kjent. Dette er et kjent problem i triangulering. De kan også brukes når to sider og en vinkel som ikke ligger mellom dem, er kjent. Noen ganger vil man da finne to mulige verdier for den mellomliggende vinkelen. Når det skjer, vil ofte bare ett resultat få vinkelsummen til å bli 180°, mens det i andre tilfeller betyr at det finnes to løsninger for trekanten.

Mens den opprinnelige sinussetningen ble etablert innen euklidsk geometri, er den senere blitt utvidet til å gjelde også på andre, todimensjonale mangfoldigheter. Slik finnes det en formulering som gjelder på overflaten til kuler med sfærisk geometri og likedan på hyperbolske flater med konstant, negativ krumning.

Utledning

Det finnes flere forskjellige måter å bevise sinussetningen. For eksempel kan man betrakte en høyde i trekanten fra et hjørne. Den vil dermed stå vinkelrett på motstående side. Kalles den for h og går gjennom hjørne C, vil man da ha

h=b\sin A=a\sin B

når man benevner vinklene i trekantens hjørner med samme bokstav som disse. Dermed har man at

{a \over \sin A}={b \over \sin B}

En tilsvarende sammenheng finnes ved å benytte en høyde fra et av de to andre hjørnene. Tilsammen gir disse relasjonene nå sinussetningen

{a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}

For beregninger av lengder til sidene i et triangel, kan ofte cosinussetningen gi resultatet mer direkte enn bruk av denne lovmessigheten.

Omskreven sirkel

De tre hjørnene i trekanten ABC definerer dens omskrevne sirkel med en viss radius R. Denne kan beregnes ut fra vinkelen i ett hjørne og lengden av motstående side.

Det kan vises ved for eksempel å trekke en rett linje gjennom hjørnet A og sirkelens sentrum. Den skjærer denne på motsatt side i punktet D. Da er linjestykket AD lik med sirkelens diameter 2R. Vinkelen δ som BD nå danner med denne diameteren, er nå gitt ved

\sin \delta ={c \over 2R}

da trekanten ADB er rettvinklet med A som hypotenus. Men vinkelen γ i hjørnet C er like stor som denne vinkelen δ da de begge er periferivinkler som spenner over den samme korden med lengde AB = c. Derfor er den omskrevne sirkels diameter

2R={c \over \sin \gamma }

Samme verdi vil man komme frem til ved å betrakte diametre fra de to andre hjørnene i den opprinnelige trekanten. Dermed kan sinussetningen skrives på sin endelig form

{a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R

Radius

Arealet S til trekanten kan finnes fra de tre størrelsene som møtes i hvert hjørne, det vil si for eksempel

S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={abc \over 4R}

Samtidig er dette arealet også gitt ved Herons formel

S={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}

hvor s = (a + b + c)/2 er halve omkretsen til trekanten. Dermed kan radius til den omskrevne sirkel beregnes fra sidelengdene alene ved formelen

{\begin{aligned}R&={\frac {abc}{4{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\&={\frac {abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}\end{aligned}}.

Andre geometrier

Sidene til en trekant i planet er rette linjer. På krumme flater tilsvarer de geodetisk kurver spm forbinder to punkt på flaten med minimal avstand fra hver andre. De kan derfor benyttes til konstruksjon av trekanter på slike flater. Hjørnene er gitt ved skjæringspunktene mellom sidene hvor de tilsvarende vinklene finnes fra retningene til tangentene i disse punktene. En slik krummet trekant er derfor også et veldefinert triangel.

En kuleflate har konstant, positiv krumning og derfor en sfærisk geometri. De geodetiske linjene tilsvarer storsirkler og danner trekanter hvor summen av de indre vinklene er større enn 180°. Siden motsatt hjørnet A i en slik trekant har en lengde sina hvor a er den vinkel som siden sees under når den betraktes fra kulens sentrum. Sinussetningen for sfæriske trekanter lyder nå

{\sin a \over \sin A}={\sin b \over \sin B}={\sin c \over \sin C}

I grensen der radius til kuleflaten blir veldig stor, går denne formelen over i den euklidske varianten gjeldende for trekanter i planet.

Mottstykket til en sfærisk flate er en hyperbolsk flate som har en konstant, negativ krumning. Man kan tenke seg den som en liten del av en sadel eller pseudosfære. Det navnet skyldes at den kan beskrives som en sfærisk flate på en kule med imaginær radius. Da vil lengden av siden a i trekanten rent matematisk være gitt ved den tilsvarende hyperbolske funksjonen sinha. Sinussetningen for denne geometrien er derfor

{\sinh a \over \sin A}={\sinh b \over \sin B}={\sinh c \over \sin C}

Se også

Referanser

↑ H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, Geometry Revisited, The Matematical Association of America, Washington, DC (1967). ISBN 0-8838-5619-0.
1 2 B. Birkeland, T. Breiteig og H.E. Borgersen, MA-132 Geometri, Universitetet i Agder, Kristiansand (2009). PDF.

Eksterne lenker

Cut the Knot, The Laws of Sines and Cosines, med forskjellige bevis.

[Coxeter-1] H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, Geometry Revisited, The Matematical Association of America, Washington, DC (1967). ISBN 0-8838-5619-0.

[Agder-2] 1 2 B. Birkeland, T. Breiteig og H.E. Borgersen, MA-132 Geometri, Universitetet i Agder, Kristiansand (2009). PDF.