Tangenssetningen

I trigonometrien er tangenssetningen en setning om forbindelsen mellom tangens til to vinkler av en trekant og lengdene av de motstående sidene.

I figur 1 er a, b og c lengdene av tre sider av trekanten, og α, β og γ er henholdsvis vinklene motstående disse sidene. Tangenssetningen sier at

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}$

Tangenssetningen er, selv om den ikke er så vidt kjent som sinussetningen eller cosinussetningen, like nyttig, og kan brukes i alle tilfeller der to sider og en vinkel, eller to vinkler og en side, er kjent.

Tangenssetningen for sfæriske trekanter ble beskrevet i det 13. århundre av den persiske matematikeren Nasir al-Din al-Tusi (1201–74), som også presenterte sinussetningen for trekanter i planet i sitt fembinds verk Treatise on the Quadrilateral.

Bevis

For å bevise tangenssetningen kan vi starte med sinussetningen:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.}$

La

${\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},}$

slik at

${\displaystyle a=d\sin \alpha {\text{ and }}b=d\sin \beta .\,}$

Det følger at

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}$

Ved å bruke trigonometriske identiteter, er faktorformelen for sinus

${\displaystyle \sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),\;}$

vi får

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}$

Som et alternativ til å bruke identiteten for summen og differansen av to sinusverdier, kan man sitere den trigonometriske identiteten

${\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}}$

(se formelen for tangens av halve vinkelen).

Se også

• Sinussetningen
• Cosinussetningen
• Mollweides formel

Fotnoter