Den tomme mengden

Den tomme mengden, også kalt nullmengden, er i mengdelære en mengde som ikke inneholder elementer. Et vanlig symbol for denne mengden er Ø.

Introduksjon

Verken i naiv mengdelære eller aksiomatisk mengdelære blir utsagnet «x er et element i mengden M» definert. Utsagnet blir enten tatt som intuitivt eller som en grunnleggende udefinert formel. Eksistensen av en tom mengde, en mengde uten innhold av elementer, blir håndtert tilsvarende. Noen fremstillinger introduserer eksistensen som et aksiom.

Eksistensialitetsaksiomet for mengder sier at to mengder er like dersom de inneholder de samme elementene – det finnes med andre ord kun én mengde som ikke inneholder elementer. Denne kalles derfor den tomme mengden, snarere enn en tom mengde. Også navnet nullmengden er i vanlig bruk. Begrepet «nullmengde» brukes imidlertid også om andre mengder, for eksempel mengden av argument som gjør en funksjon lik null.

Den tomme mengde skrives {}, 0 eller mest vanlig som Ø (${\displaystyle \emptyset }$). Det siste symbolet ble innført av Andre Weil i Bourbaki-gruppen, brukt i en artikkel i 1939. Valg av symbolet var inspirert av bokstaven Ø.

Alle andre mengder enn den tomme mengden er ikketomme.

Egenskaper

For en vilkårlig mengde ${\displaystyle A}$ gjelder følgende:

Den tomme mengden er en delmengde av ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \emptyset \subseteq A}$.

Unionen mellom ${\displaystyle A}$ og den tomme mengden er ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle A\cup \emptyset =A}$.

Snittet mellom ${\displaystyle A}$ og den tomme mengden er den tomme mengden:

${\displaystyle A\cap \emptyset =\emptyset }$.

Den tomme mengden er et element i potensmengden til ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {P}}(A)}$.

For mengdedifferansen gjelder

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}A-A&=\emptyset \\A-\emptyset &=A\end{alignedat}}}$

Det kartesiske produktet av ${\displaystyle A}$ og den tomme mengden er tomt:

${\displaystyle A\times \emptyset =\emptyset }$.

Den tomme mengden har følgende egenskaper:

Dens eneste delmengde er den tomme mengden selv:

${\displaystyle A\subseteq \emptyset \Rightarrow A=\emptyset }$.

Potensmengden til den tomme mengden er en mengde som kun inneholder den tomme mengden:

${\displaystyle {\mathcal {P}}(\emptyset )=\lbrace \emptyset \rbrace }$

Den tomme mengden har kardinaltall definert lik null:

${\displaystyle {\text{card}}(\emptyset )=0}$.

I et topologisk rom er den tomme mengden samtidig både en åpen mengde og en lukket mengde.

References

Litteratur

• Patrick Suppes (1972). Axiomatic set theory. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-61630-4. 

• Paul R. Halmos (2025). Naive set theory. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-81487-4.