Binær relasjon

En binær relasjon, eller en relasjon, er i matematikk en sammenheng mellom objekter i to mengder. For hvert par av objekter vil relasjonen enten være sann eller ikke. Eksempler på relasjoner er «lik», «større enn», «kongruent» og «ortogonal til».

Binære relasjoner er brukt i alle deler av matematikk. En funksjon er definert som en spesiell type binær relasjon.

Formell definisjon

Dersom ${\displaystyle M}$ og ${\displaystyle N}$ er vilkårlig mengder, og ${\displaystyle S}$ er en delmengde av det kartesiske produktet ${\displaystyle M\times N}$, så er ${\displaystyle S}$ en binær relasjon fra ${\displaystyle M}$ til ${\displaystyle N}$.

For ethvert ordnet par ${\displaystyle (a,b)}$ i ${\displaystyle M\times N}$ kan en si at paret er med i ${\displaystyle S}$ eller ikke. Dette er ekvivalent til å si at relasjonen mellom ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ er oppfylt eller ikke. En relasjon kan generelt skrives på formen ${\displaystyle aSb}$ eller ${\displaystyle S(a,b)}$, men ofte erstattes ${\displaystyle S}$ med et mer standard symbol, som for eksempel et likhetstegn.

Domenet og rekkevidden (eller kodomenet) til relasjonen er definert ved henholdsvis

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathcal {D}}S&=\lbrace \ a\in M\ |\ (a,b)\in S{\text{ for en }}b\ \in N\ \rbrace \\{\mathcal {R}}S&=\lbrace \ b\in N\ |\ (a,b)\in S{\text{ for en }}a\in M\ \rbrace \end{alignedat}}}$

Relasjonen er heterogen dersom ${\displaystyle M\neq N}$ og homogen dersom de to mengdene er like.^{[trenger referanse]} En homogen relasjon kan sies å være en relasjon i mengden der den er definert.

Formelt sett er også den tomme mengden en relasjon, siden denne er en delmengde i ${\displaystyle M\times N}$.

Eksempler

Gitt de to mengdene

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}M&=\lbrace 0,1,2,3,4,5,{\text{ ekorn}},{\text{ ulv }}\rbrace \\N&=\lbrace {\text{Partall, Oddetall, Primtall}}\rbrace \end{alignedat}}}$

I mengden ${\displaystyle N}$ er Partall en forkortelse for Mengden av partall, og tilsvarende for de andre elementene. Da vil ${\displaystyle S=}$ (er inneholdt i) være en heterogen relasjon fra ${\displaystyle M}$ til ${\displaystyle N}$. Merk at ikke alle elementene i ${\displaystyle M}$ er med i relasjonen. Relasjon ternger ikke være entydig, og her er både ${\displaystyle (3,{\text{Oddetall}})\in S}$ og ${\displaystyle (3,{\text{Primtall}})\in S}$.

En funksjon kan defineres som en relasjon som er entydig, det vil si at ${\displaystyle (a,b)\in S}$ og ${\displaystyle (a,c)\in S}$ hvis og bare hvis ${\displaystyle b=c}$.

Generelle egenskaper

Hvis ${\displaystyle S}$ og ${\displaystyle Q}$ er to relasjoner i ${\displaystyle M\times N}$, så er både unionen ${\displaystyle (S\cup Q)}$, snittet ${\displaystyle (S\cap Q)}$ og mengdedifferansen ${\displaystyle (S-Q)}$ relasjoner. For domenene gjelder

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathcal {D}}(S\cup Q)&={\mathcal {D}}S\cup {\mathcal {D}}Q\\{\mathcal {D}}(S\cap Q)&\subseteq {\mathcal {D}}S\cap {\mathcal {D}}Q\\{\mathcal {D}}S-{\mathcal {D}}Q&\subseteq {\mathcal {D}}(S-Q)\\\end{alignedat}}}$

For rekkeviddene:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathcal {R}}(S\cup Q)&={\mathcal {R}}S\cup {\mathcal {R}}Q\\{\mathcal {R}}(S\cap Q)&\subseteq {\mathcal {R}}S\cap {\mathcal {R}}Q\\{\mathcal {R}}S-{\mathcal {R}}Q&\subseteq {\mathcal {R}}(S-Q)\\\end{alignedat}}}$

Egenskaper til homogene relasjoner

En homogen relasjon kan karakteriseres med følgende egenskaper:

• Relasjonen er refleksiv dersom aSa for alle a i mengden M.
  • Relasjonen er irrefleksiv dersom det ikke finnes noen a i M slik at aSa
• Relasjonen er symmetrisk dersom aSb medfoører bSa.
  • Relasjonen er asymmetrisk dersom aSb medfører ikke bSa.
• Relasjonen er antisymmetrisk dersom aSb og bSa medfører at a = b.
• Relasjonen er transitiv dersom aSb og bSc medfører aSc.

Relasjonen «større eller lik» er refleksiv, mens relasjonen «større enn» ikke er det. Relasjonen «lik» er symmetrisk, mens relasjonen «større eller lik» er antisymmetrisk. En relasjon som er både refleksiv, symmetrisk og transitiv kalles en ekvivalensrelasjon. En relasjon som er refleksiv, antisymmetrisk og transitiv kalles en partiell ordning.

Generalisering

En binær relasjon er definert mellom to mengder, men det er også mulig å definere relasjoner som involverer flere mengder. En ternær relasjon kan for eksempel defineres som en delmengde av et kartesisk produkt av tre mengder. Gitt mengden {Adam, Eva, Kain, Abel, Ola, Per}, så kan en lage en ternær relasjon a og b er foreldre til c i denne mengden.

Det vil alltid være mulig å omformulere slike høyre-ordens relasjoner til et sett av binære relasjoner, så i praksis er det binære relasjoner som studeres. Derfor utelates ofte ordet binær, og en relasjon er underforstått en binær relasjon.

Se også

• Relasjonsalgebra

Referanser