Forsing Hechlera – pojęcie forsingu stosowane w teorii mnogości do dodawania funkcji , która ostatecznie dominuje każdą funkcję tego typu należącą do modelu podstawowego. Jest oznaczany zwykle przez . Konstrukcja pochodzi z pracy Stephena H. Hechlera opublikowanej w 1974 roku Forsing ten i jego iteracje wykorzystuje się między innymi do konstruowania modeli o zadanych charakterystykach kardynalnych continuum.
Niech oznacza zbiór liczb naturalnych, zbiór funkcji z w , a zbiór skończonych ciągów liczb naturalnych. Dla relację ostatecznej dominacji definiuje się przez
W jednej ze standardowych prezentacji warunkami forsingu Hechlera są pary , gdzie , oraz jest początkowym odcinkiem . Porządek jest określony wzorem
Mniejszy warunek w tym porządku jest warunkiem silniejszym. Ciąg nazywa się trzonem warunku. Ustala on początkowe wartości dodawanej funkcji, natomiast wyznacza dolne ograniczenia jej dalszych wartości.
Jeśli jest filtrem generycznym nad modelem , to funkcja
jest nazywana liczbą Hechlera. Należy ona do i spełnia
Dowolnie długie trzony można uzyskać przez wzmacnianie warunków, a dla każdej funkcji z modelu podstawowego można podnieść dolne ograniczenia na wszystkich współrzędnych poza trzonem. Generyczność zapewnia spełnienie wszystkich tych wymagań.
Dominacja dotyczy funkcji z . W rozszerzeniu istnieją również funkcje niedominowane przez , na przykład .
Forsing Hechlera jest -centrowany: można go przedstawić jako sumę przeliczalnie wielu rodzin, w których każda skończona podrodzina ma wspólne wzmocnienie. Taką rodzinę stanowią wszystkie warunki o ustalonym trzonie ; wspólne wzmocnienie otrzymuje się, biorąc punktowe maksimum skończenie wielu funkcji. W szczególności spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów (ccc). Zachowuje zatem liczby kardynalne i kofinalności.
Dodaje także liczbę Cohena. Dla opisanej wyżej prezentacji można ją otrzymać z liczby Hechlera przez redukcję wartości modulo 2:
Możliwość przedłużania trzonu liczbami dowolnej parzystości, dostatecznie dużymi wobec zadanych dolnych ograniczeń, zapewnia generyczność dla forsingu Cohena nad .
Liczba jest najmniejszą mocą rodziny w nieograniczonej względem , a najmniejszą mocą rodziny dominującej w tym porządku.
Jörg Brendle, Haim Judah i Saharon Szelach wykazali, że po dodaniu jednej liczby Hechlera zachodzą równości
gdzie . Dokładniej, dla ideału zbiorów pierwszej kategorii:
Pierwszy z tych niezmienników oznacza najmniejszą moc zbioru niebędącego pierwszej kategorii, a drugi najmniejszą liczebność rodziny zbiorów pierwszej kategorii pokrywającej prostą rzeczywistą. Wyniki te wyznaczają również pozostałe wartości w diagramie Cichonia. W tym samym rozszerzeniu istnieją zbiór Łuzina mocy continuum oraz nieskończona maksymalna rodzina prawie rozłącznych nieskończonych podzbiorów mocy , zatem .
Inny efekt daje iteracja z nośnikami skończonymi długości , gdzie jest regularną nieprzeliczalną liczbą kardynalną. Jeżeli na każdym etapie stosuje się forsing Hechlera obliczony w aktualnym modelu pośrednim, w końcowym rozszerzeniu zachodzi
Każda kolejna liczba Hechlera dominuje funkcje z wcześniejszych etapów; regularność pozwala wykorzystać ten fakt także dla rodzin mocy mniejszej niż . James E. Baumgartner i Peter Dordal badali takie iteracje, uzyskując między innymi modele, w których liczba rozcinająca pozostaje równa , podczas gdy jest większa.
W literaturze nazwą „forsing Hechlera” określano również odmianę dodającą funkcję niemalejącą oraz drzewiasty forsing Hechlera. W wersji drzewiastej warunkami są poddrzewa z trzonem, w których każdy węzeł przedłużający trzon ma wszystkie poza skończenie wieloma możliwymi bezpośrednimi następnikami. Silniejszym warunkiem jest mniejsze drzewo.
Justin Palumbo wykazał, że wersja klasyczna i niemalejąca są równoważne jako pojęcia forsingu; wynik ten uzyskał wspólnie z Itayem Neemanem. Natomiast wersja drzewiasta nie jest równoważna klasycznej. W rozszerzeniu klasycznym istnieje funkcja nieograniczona nad modelem podstawowym , którą ostatecznie dominuje każda funkcja dominująca nad . W rozszerzeniu drzewiastym taka funkcja nie istnieje.
Palumbo udowodnił także twierdzenie reprezentacyjne: jeżeli jest generyczną niemalejącą liczbą Hechlera, a dominuje funkcje z , to istnieją niemalejące funkcje , dążące do nieskończoności, dla których
Damian Sobota i Lyubomyr Zdomskyy wykazali, że po dodaniu liczby Hechlera każda nieskończona algebra Boole’a należąca do modelu podstawowego nie ma ani własności Nikodyma, ani własności Grothendiecka. Własności te opisują zależności między punktową, słabą* i słabą zbieżnością ciągów miar. Wynik jest szczególnym przypadkiem ich twierdzenia o rozszerzeniach dodających liczbę Cohena. Autorzy udowodnili również, że samo dodanie funkcji dominującej wystarcza do utraty własności Nikodyma przez każdą nieskończoną algebrę Boole’a z modelu podstawowego.
Nathaniel Bannister, Jeffrey Bergfalk, Justin Tatch Moore i Stevo Todorčević zastosowali iterację forsingu Hechlera długości będącej słabo zwartą liczbą kardynalną do uzyskania zasad podziałowych dotyczących potęg porządku funkcji . Zasady te prowadzą do wyników o addytywności wyższych funktorów granicy odwrotnej i o addytywności silnych homologii na klasie lokalnie zwartych ośrodkowych przestrzeni metrycznych. Praca ukazała się elektronicznie w 2024 roku, a w tomie czasopisma datowanym na 2025 rok.
Matteo Casarosa wykorzystał nieliniowe iteracje forsingu Hechlera do konstrukcji modeli z niezerowymi granicami pochodnymi również przy . Jego wynik obejmuje wszystkie możliwe wartości
Usuwa to z wcześniejszych wyników o względnej niesprzeczności założenie istnienia skali, czyli liniowo uporządkowanej rodziny współkońcowej w . Artykuł opublikowano elektronicznie w 2025 roku, a w tomie z 2026 roku.
W pracy z 2026 roku Raul Figueroa-Sierra, Osvaldo Guzmán, Michael Hrušák i Adam Kwela wykorzystali iterację forsingu Hechlera długości , poprzedzoną pomocniczym forsingiem, do skonstruowania modelu zawierającego -skalę, której przestrzeń Dowa nie jest przestrzenią Frécheta–Urysohna. Przez -skalę rozumie się tutaj nieograniczony względem rosnący ciąg funkcji długości , a przestrzeń Dowa jest związaną z nim przeliczalną przestrzenią topologiczną na zbiorze . Wynik pokazuje możliwość wystąpienia w takiej przestrzeni punktu należącego do domknięcia zbioru, do którego nie zbiega żaden ciąg elementów tego zbioru.
W preprincie z września 2026 roku Martin Goldstern i Tatsuya Goto wykazali, że rozszerzenia Hechlera są -minimalne. W ich terminologii oznacza to, że dla każdej nowej liczby rzeczywistej i każdej funkcji istnieje funkcja , dla której
Jest to osłabienie minimalności: zamiast wymagać, aby każda nowa liczba odtwarzała całe rozszerzenie, wymaga się możliwości znalezienia w generowanym przez nią modelu funkcji przewyższającej dowolnie zadaną funkcję z rozszerzenia na nieskończenie wielu argumentach.